Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-5139
Authors: Steinig, Simeon
Title: Adaptive finite elements for state-constrained optimal control problems - convergence analysis and a posteriori error estimation
Other Titles: Adaptive Finite Elemente für zustandsbeschränkte Optimalsteuerprobleme - Konvergenzanalysis und a Posteriori Fehlerschätzung
Issue Date: 2014
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-97221
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/5156
http://dx.doi.org/10.18419/opus-5139
Abstract: Optimal control problems and in particular state-constrained optimal control problems fre- quently occur in all sorts of fields of science, from aerospace engineering to robotics, from process engineering to vehicle simulations. Against this backdrop, it is of interest to solve these kinds of problems in an efficient manner. Optimal control problems are characterised by the existence of a control u acting on a state y which is governed by a (ordinary/partial/stochastic) differential equation. In this PhD thesis, we considered linear, stationary partial differential equations (PDE); in particular, the state y is a linear function of the control u, y = Su. Now, solving such optimal control problems numerically involves solving two linear PDEs in each iterate of an optimisation algorithm. Over the last decades much research has been undertaken to numerically solve such linear PDEs efficiently, especially discretisations with adaptive finite elements have been proven to be highly useful for such a task. Thus, trying to apply these adaptive finite element methods to the specific setting of state-constrained optimal control problems suggested itself as an appropriate approach: The aim of this thesis was twofold: 1. The first goal was to prove a basic convergence result, i.e.: the sequence of discrete solutions obtained by discretising the optimal control problem with finite elements, U_k, converges to the true solution of the undiscretised problem u. 2. The second goal was to derive a reliable a posteriori error estimator, i.e., here an upper bound up to constants depending solely on data containing only known discrete or continuous functions and linear errors. 1st aim: We succeeded in characterising convergence U_k to u exactly, Theorem 3.3.8 and Theorem 3.3.10, i.e. we derived a necessary and sufficient condition for convergence U_k to u in terms of a discrete quantity which can potentially be used to steer a numerical algorithm, as we did in Section 6.3. We could not find an example, where this condition is fulfilled; nevertheless, because this result was achieved without assuming any additional regularity for the sequence of triangulations or the problem itself, it constitutes a major contribution to the convergence analysis for adaptive finite element methods for state-constrained optimal control problems. 2nd aim: The second goal, the a posteriori error estimator, was achieved in Theorem 4.2.12 and Theorem 4.2.13. Remarkably, the derived a posteriori estimator was proved to converge under relatively mild assumptions, Theorem 4.3.14. In the concluding chapters of this thesis, we constructed an adaptive algorithm on the basis of our a posteriori error estimator, Chapter 5, before successfully testing it for two problems, Chapter 6.
Optimalsteuerprobleme und besonders zustandsbeschränkte Optimalsteuerprobleme treten in vielen verschiedenen Wissenschaftsgebieten auf, so beispielweise in der Aeronautik, der Robotik, der Prozessteuerung und der Simulationstechnik im Autobau. Vor diesem Hintergrund ist es von Interesse, solche Probleme effizient zu lösen. Kennzeichnend für Optimalsteuerprobleme ist die Existenz einer Steuerung 'u', die auf einen Zustand 'y' einwirkt. Letzterer ist besimmt durch eine (gewöhnliche/partielle/stochastische) Differentialgleichung. In dieser Dissertation beschäftigten wir uns mit linearen, stationären partiellen Differentialgleichungen (PDE), d.h. insbesondere, dass der Zustand 'y' eine lineare Funktion der Steuerung 'u' ist, 'y=Su'. Nun ist es so, dass das Lösen dieser Optimalsteuerprobleme das numerische Lösen von zwei linearen PDEs in jedem Schitt eines Optimierungsalgorithmus nach sich zieht. In den letzten Jahrzehnten wurde intensiv über das effiziente Lösen solcher linearen PDEs geforscht, insbesondere adaptive Finite Elemente Methoden haben sich dabei als besonders nützlich herauskristallisiert. U.a. deswegen lag es nahe, diese adaptiven Finite Elemente Methoden auch auf das spezielle Feld der zustandsbeschränkten Optimalsteuerprobleme anzuwenden: In dieser Dissertation gab es zwei Ziele: 1. Das erste Ziel war es, ein Basis-Konvergenzresultat zu beweisen, d.h.: die Folge der diskreten Lösungen, die man durch die Diskretisierung des Optimalsteuerproblems mit Finiten Elementen gewinnt, U_k, konvergiert gegen die eigentliche Lösung des undiskretisierten Optimalsteuerproblems u. 2. Das zweite Ziel war es, einen zuverlässigen Fehlerschätzer herzuleiten, d.h. hier eine obere Schranke bis auf nur datenabhängige Konstanten, die nur aus bekannten diskreten und kontinuierlichen Funktionen und linearen Fehlern besteht. 1. Ziel: Wir konnten erfolgreich die Konvergenz U_k gegen u exakt charakterisieren, Theorem 3.3.8 und 3.3.10, d.h. wir haben eine notwendige und hinreichende Bedingung für Konvergenz U_k gegen u hergeleitet. Diese Bedingung wurde mit Hilfe einer diskreten Größe formuliert, welche potenziell zum Steuern eines Algorithmus eingesetzt werden kann, s. Abschnitt 6.3. Wir konnten kein Beispiel dafür finden, dass diese Bedingung tatsächlich erfüllt ist; nichtsdestotrotz, da dieses Resultat bewiesen wurde ohne irgendeine zusätzliche Regulariät für die Folge der Triangulierungen oder das Problem zu fordern, stellt es einen bedeutenden Beitrag zur Konvergenzanalysis von adaptiven Finite-Elemente-Methoden für zustandsbeschränkte Optimalsteuerprobleme da. 2. Ziel: Das zweite Ziel, der zuverlässige a posteriori Fehlerschätzer, wurde in Theorem 4.2.12 und Theorem 4.2.13 erreicht. Tatsächlich gelang es sogar nachzuweisen, dass der hergeleitete Fehlerschätzer unter milden Annahmen konvergiert, Theorem 4.3.14. In den abschließenden Kapiteln dieser Dissertation konstruierten wir auf der Basis unseres a posteriori Fehlerschätzers einen adaptiven Algorithmus, Kapitel 5, bevor wir diesen erfolgreich an zwei Beispielen austesteten, Kapitel 6.
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