Spline-Approximation unregelmäßig verteilter Daten

Abstract

Durch Messung erhaltene Daten, deren Positionen von zwei oder mehr Dimensionen abhängen, liegen in der Praxis meistens nicht auf einem regelmäßigen Gitter, sondern sind unregelmäßig verteilt (engl. "scattered data"). Unregelmäßig verteilte Daten entstehen allgemein ausgedrückt durch Auswertung einer multivariaten Funktion an verschiedenen vorgegebenen Punkten, die nicht auf einem regelmäßigen Gitter liegen. Um eine Näherung der Funktionswerte im ganzen Gebiet bestimmen zu können, ist es notwendig, die gegebenen Datenpunkte zu interpolieren, was aber durch die Unregelmäßigkeit der Anordnung der Datenpunkte erheblich erschwert wird. Konkrete Anwendungsbeispiele reichen von der Vermessung des Gravitationsfelds der Erde bis hin zur Erkundung von Öl-Lagerstätten.

In dieser Arbeit wird dieses Problem mit Quasi-Interpolation durch Tensorprodukt-B-Splines gelöst. Zunächst wird ein grobes Gitter auf die unregelmäßig verteilten Daten gelegt. Anschließend werden per lokaler Polynom-Approximation Daten auf den Gitterpunkten erzeugt. Schließlich wird durch Quasi-Interpolation ein quasi-interpolierender Spline ermittelt, der als Linearkombination von Tensorprodukt-B-Splines eine sehr effektive Struktur besitzt, die eine schnelle Auswertung und Ableitung der Quasi-Interpolierenden ermöglicht. Der so entstehende Approximationsalgorithmus ist für allgemeine Dimensionalitäten formuliert, erlaubt eine dynamische Einstellung des Approximationsgrades und benötigt keine Triangulierung der Datenpunkte.