Monotonicity-based methods for inverse parameter identification problems in partial differential equations

Abstract

This work is concerned with monotonicity-based methods for inverse parameter reconstruction problems in partial differential equations. The first three chapters address the anomaly detection problem of electrical impedance tomography. While electrical impedance tomography aims on reconstructing the interior conductivity distribution of a conductive subject from boundary data, the goal of the specific anomaly detection problem is the reconstruction of areas inside a conductive subject where the conductivity differs from an expected reference conductivity. The considered boundary data can be understood as an operator that describes current-voltage measurements. In the final chapter we prove a novel uniqueness result for the inverse potential problem of the Schrödinger equation with partial data.

For the development of anomaly detection methods, both known and novel variants of a monotonicity relation are used. Roughly speaking, these monotonicity relations particularly show that a pointwise decrease of the conductivity leads to larger boundary data (in sense of operator definiteness). At first glance, it is not obvious at all whether the converse of this implication holds also true, i.e., it is not clear whether larger boundary data could also result from a local decrease of the conductivity in some parts and a local increase in other parts. Assuming a local definiteness condition for the conductivity change we prove a partial converse of the monotonicity implication that holds for the case in which the measurements are modeled with the idealized continuum model.

In the first chapter we develop novel anomaly detection methods for measurement data modeled with the continuum model. Moreover, fast linearized variants are presented that only require the computation of reference measurements for one homogeneous reference conductivity. We prove that all presented methods are capable of reconstructing the exact outer shape of conductivity anomalies.

In realistic electrical impedance tomography settings in which measurement data is collected on a finite number of electrodes, the reconstruction of the exact outer shape of anomalies cannot be guaranteed anymore. On top of that, systematic errors resulting from imprecise knowledge of the setting parameters as well as additional random measurement errors need to be taken into account. In the second chapter we show that nevertheless certain resolution guarantees are principally possible for such settings.

In the third chapter we develop a novel hybrid method that does not require the simulation of reference data. We apply an idealized model for ultrasound modulation that alters the conductivity uniformly in a test region and we develop a test criterion to check whether the test region is located inside an anomaly. The test criterion consists of a monotonicity-based comparison of ultrasound modulated and weighted frequency-difference measurements.

Finally, in the fourth chapter, a local uniqueness result for the inverse potential problem of the Schrödinger equation on a bounded Lipschitz domain with partial boundary data is shown. More precisely, we show that positive-valued bounded potentials that do not completely coincide in a neighborhood of a potentially arbitrarily small part of the boundary can be distinguished from Cauchy data on this boundary part provided that a local definiteness condition is fulfilled.

Die vorliegende Arbeit behandelt Monotoniemethoden für inverse Parameteridentifikationsprobleme partieller Differentialgleichungen. Die ersten drei Kapitel befassen sich mit dem Detektionsproblem von Leitfähigkeitsanomalien der elektrischen Impedanztomographie. Während die elektrische Impedanztomographie die Rekonstruktion der inneren Leitfähigkeitsverteilung eines leitenden Subjekts aus Randdaten zum Ziel hat, geht es bei dem speziellen Anomaliedetektionsproblem um die Rekonstruktion von Gebieten innerhalb eines leitenden Subjekts in denen die Leitfähigkeit von einer erwarteten Referenzleitfähigkeit abweicht. Die betrachteten Randdaten können dabei als ein Operator verstanden werden, welcher Strom-zu-Spannungsmessungen beschreibt. Im finalen Kapitel beweisen wir ein neues Eindeutigkeitsresultat für das inverse Potentialproblem der Schrödingergleichung mit partiellen Randdaten.

Für die Entwicklung von Methoden zur Anomaliedetektion verwenden wir sowohl bekannte als auch neue Varianten einer Monotonierelation. Anschaulich formuliert, besagen diese Monotonierelationen insbesondere, dass eine punktweise Verringerung der Leitfähigkeit zu größeren Randdaten (im Sinne einer Definitheitsrelation für Operatoren) führt. Auf den ersten Blick ist überhaupt nicht ersichtlich, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt. Das heißt, es ist nicht klar, ob größere Randdaten auch aus einer lokalen Verringerung der Leitfähigkeit in einem Bereich und einer lokalen Erhöhung in einem anderen Bereich resultieren könnten. Unter Voraussetzung einer lokale Definitheitsbedingung für die Leitfähigkeitsänderung beweisen wir eine partielle Umkehrung zur Implikation der Monotonierelation, die für Randdaten in einem idealisierten Setting (Continuum Model) gilt.

Im ersten Kapitel entwickeln wir neuartige Monotoniemethoden zur Anomaliedetektion für Randdaten modelliert mit dem Continuum Model. Zudem präsentieren wir schnelle linearisierte Varianten, welche nur die Berechnung von Referenzdaten für eine einzige homogene Referenzleitfähigkeit benötigen. Wir beweisen, dass alle präsentierten Methoden die exakte äußere Form von Anomalien rekonstruieren.

In einem realistischen Setting, in dem Messdaten auf einer endlichen Anzahl von Elektroden gesammelt werden, lässt sich die Rekonstruktion der exakten äußeren Form von Anomalien nicht mehr garantieren. Erschwerend kommt hinzu, dass systematische Fehler, resultierend aus ungenauer Kenntnis von Settingparametern, sowie zufällige Messfehler berücksichtigt werden müssen. Im zweiten Kapitel zeigen wir, dass gewisse Auflösungsgarantien dennoch auch für solche Settings prinzipiell möglich sind.

Im dritten Kapitel entwickeln wir eine neuartige Hybridmethode, die ohne die Simulation von Referenzdaten auskommt. Wir verwenden ein idealisiertes Modell zur Ultraschallmodulation, das die Leitfähigkeit gleichmäßig in einer Testregion erhöht und entwickeln ein Testkriterium, um zu testen, ob die Testregion innerhalb einer Anomalie liegt. Das Testkriterium besteht in einem monotoniebasierten Vergleich von Ultraschall-modulierten und gewichteten Frequenz-Differenz-Messungen.

Abschließend wird im vierten Kapitel ein lokales Eindeutigkeitsresultat für das inverse Potentialproblem der Schrödingergleichung auf einem beschränkten Lipschitz-Gebiet für partielle Randdaten bewiesen. Genauer gesagt zeigen wir, dass sich positivwertige beschränkte Potentiale, die in einer Umgebung eines Randstücks nicht komplett übereinstimmen, anhand von Cauchy-Daten auf diesem Randstück unterscheiden lassen, vorausgesetzt eine lokale Definitheitsbedingung ist erfüllt.