Copula based stochastic analysis of discharge time series

Abstract

Global climate change can have impact on characteristics of rainfall-runoff event and subsequently on the hydrological regime. Meanwhile, catchment itself changes due to the anthropogenic influences. In this context, it can be meaningful to investigate the existing long term discharge records for detecting catchment characteristics and its temporal change.

For this aim, stochastic property of time series can be analysed. Widely used time series models are based on linear combinations of correlations. However, such statistical measure does not describe all the details of the dependence structure and, therefore, has risk of losing crucial information. Instead, copulas have the advantages to measure more detailed dependence structure in uniformed domain and possibly to reveal significant information of time series.

In this paper, two measures are examined on copula domain. One is Asymmetry of discharge derived from intrinsic property of discharge, which can be related to the catchment characteristics. It is demonstrated how much this measure is related to hydrological characteristic of the catchments and how it temporally changes for 100 years daily discharge records. The other is copula distance which is a Cramér von Mises type distance applied to copula. This can be utilized for time series analysis similar to variance or correlation by comparing the local and global dependence structure of time series. The anthropogenic impacts were assessed by calculating the change of these statistics in moving time window. The main problem is that the change of stochastic property of discharge is caused not only by catchment change but also by temporal behavior of precipitation. A new approach is suggested for measuring interrelationship between discharge and precipitation time series based on copulas and hydrological model.

Der globale Klimawandel hat möglicherweise Auswirkungen auf den Wasserhaushalt von Flussgebieten Weltweit. Um ein sicheres Hintergrundwissen als Grundlage für die Bewertung künftiger Entwicklungen zu erlangen und vorzuhalten ist eine wissenschaftliche Untersuchung von bisher gemessenen Daten notwendig. Das Global Runoff Data Center der BfG vereinigt seit 1988 die weltweit größte Sammlung von Abflussdaten aller Kontinente und bietet die Gelegenheit, durch statistische Auswertung des ständig wachsenden Datensatzes neue Erkenntnisse zu gewinnen. Diese Studie beschäftigt sich mit Bewertungen und Analysen der deutschen hydrologischen Gegebenheiten und bedient sich moderner Methoden der nichtparametrischen Statistik. Die Vergleiche zwischen den verschiedenen Einzugsgebieten erlauben eine fundierter Bewertung der kausalen Zusammenhänge von Bewirtschaftungsmaßnahmen struktureller Art, Landnutzungs-änderungen, veränderten Antriebskräften und des hydrologischen Regimes und damit letztendlich der Wasserbilanz.

Copula ist ein statistisches Konzept, das die Beziehung zwischen mehreren Zufallsvariablen beschreibt ähnlich wie Kovarianz und Korrelation. Ein Vorteil einer Anwendung von Copulas besteht darin, dass die Abhängigkeitsstruktur unabhängig von deren Randverteilung konstruktiert werden kann. Das heißt, man kann zwei Datensätze mit verschiedenen Maßstäben oder Einheiten in einer uniformierten Definitionsmenge vergleichen. Außerdem besteht die Möglichkeit der flexibleren Modellierung, und dadurch ist Copula-basierte stochastische Analyse für Bewertung der Abflussdaten ermöglicht. Ein /Das Ziel dieser Arbeit ist es, ein neues Zeitreihenmodell mit Copula zu entwickeln. Ein Vorteil einer Anwendung von Copulas besteht darin, dass man zwei Datensätze mit verschiedenen Maßstäben oder Einheiten in einer uniformierten Definitionsmenge vergleichen kann. Außerdem besteht die Möglichkeit der flexibleren Modellierung, und dadurch ist Copula-basierte stochastische Analyse für Bewertung der Abflussdaten ermöglicht. Ein /Das Ziel dieser Arbeit ist es, ein neues Zeitreihenmodell mit Copula zu entwickeln. Asymmetrie ist eine Funktion, die in Copulas definiert ist. Im Zusammenhang mit Niederschlag-Abfluss-Ereignissen kann angenommen werden, dass Asymmetrie mit Eigenschaften des Einzugsgebiets zusammenhängt. Zuerst wird die Asymmetrie für die Daten des Rheingebiets berechnet, aber auch für andere Einzugsgebiete in Deutschland, um die Beziehung zwischen Einzugsgebiet und Asymmetrie zu valideren. Zweitens werden die zeitlichen Änderungen der Asymmetrie berechnet. Dabei wird die Asymmetrie als Zeichen der anthropogenen Beeinflussung interpretiert.

Im ersten Schritt wird eine Eigenschaft der Copula, die Asymmetrie, definiert und für die gegebenen Abflussdaten aus dem Rheingebiet analysiert, um die Gültigkeit der Asymmetrie als Maß zur Quantifizierung von charakteristischen Zusammenhängen zu testen. Außerdem wird die zeitliche Änderung der Asymmetrie als Zeichen möglicher anthropogener Auswirkungen untersucht. Auch wurde eine detaillierte Analyse durch die Trennung der Daten nach den verschiedenen Jahreszeiten durchgeführt. Asymmetrie hat interessante Eigenschaften und kann ein Werkzeug sein, um unbekannte Informationen zu beleuchten. Jedoch ist es schwierig zu unterscheiden, ob die Änderung der Asymmetrie durch anthropogene Einwirkungen oder durch zufällige zeitliche Variationen in den Niederschlägen verursacht wurde. Daher werden die Niederschlagsdaten aus 525 Messstationen in der Oberrheinebene mit Hilfe von API (Vorläufer-Niederschlagsindex) ausgewählt und in ähnlicher Weise wie der Abfluss untersucht. Das Ergebnis zeigt: API verhält sich in ähnlicher Weise wie der Abfluss, was darauf hinweist, dass die zeitliche Änderung der Asymmetrie aus der zeitlichen Änderung des Niederschlags entstanden sind.

In diesem Stadium der Forschung ist es noch nicht sicher, ob eine Beziehung besteht zwischen den charakteristischen Eigenschaften des Einzugsgebiets und der Asymmetrie. Der in diesem Abschnitt vorgestellte Ansatz ist, dass der anthropogene Einfluss mit Hilfe eines hydrologischen Modells mit festen Parametern für den gesamten Simulationszeitraum beseitigt werden kann. Dabei werden beobachtete Niederschläge als Eingangsdaten verwendet. Die beobachteten und die vom HBV-Modell simulierten Abflüsse werden im Hinblick auf Asymmetrie und Copula-Distanz verglichen. Die Copula-Distanz ist eine Maßnahme, um die Ähnlichkeit von zwei Copulas zu vergleichen. Dieses Kriterium basiert auf der Eigenschaft der Copula, dass die mehrdimensionale Verteilung der multivariaten Zufallsvariablen uniformiert wird. Das Ergebnis zeigt, dass es bestimmte stochastische Unterschiede zwischen simulierten und beobachteten Abflussdaten gibt. Auch die Copulavarianz, definiert als die Variabilität der Copula, ist deutlich kleiner für die beobachteten Daten. Diese deutet auf Unterschiede zwischen Computer-basierter Simulation und Naturprozess hin.