Adaptive diskret-kontinuierliche Modellierung von Materialien mit Mikrostruktur

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird zunächst die unterschiedliche Struktur von Materialien auf verschiedenen Skalen diskutiert. Abhängig von der Skala, auf der ein Material betrachtet wird, eignen sich unterschiedliche Modellierungsansätze. Zur Modellierung diskreter Strukturen und Kontinua werden jeweils verschiedene Methoden vorgestellt, sowie einige Methoden, die diskrete und kontinuierliche Modelle miteinander koppeln.

Den Kern dieser Arbeit bildet die Entwicklung einer netz- und modelladaptiven Methode. Bei praktisch gleicher Genauigkeit ermöglicht die Methode Simulationen des Bruchverhaltens kohäsiver Reibungsmaterialien mit einer Form der Diskrete-Elemente-Methode (DEM), ohne die gesamte Struktur mit Partikeln aufzulösen. Um der Erfordernis einer Modellierung von Phänomenen auf unterschiedlichen geometrischen Skalen in einer Simulation gerecht zu werden, wird eine Kopplung der Finite-Elemente-Methode (FEM) und der DEM vorgeschlagen. Es werden Ideen der Quasikontinuumsmethode (TADMOR U.A., 1996) übernommen und auf eine Anwendung für Probleme in der Strukturmechanik kohäsiver Reibungsmaterialien übertragen.

Bei der entwickelten Methode liefert die FEM die Kinematik des Systems und die DEM das Konstitutivverhalten. Runde, gleich große und regelmäßig angeordnete Partikel, die über Stäbe miteinander verbunden sind, bilden die Mikrostruktur (in 2D). Es werden drei unterschiedliche Elementtypen eingeführt, die die Mikrostruktur mit unterschiedlicher Genauigkeit auflösen. Im homogenen Fall, bei dem alle Stäbe dieselbe Steifigkeit besitzen, kann die Cauchy-Born-Regel auf die Mikrostruktur angewendet werden, um die Ersatzsteifigkeit der Übergangselemente zu bestimmen. Bei einer heterogenen Steifigkeitsverteilung ist dies jedoch nicht möglich. Für solche Fälle wird eine neue Strategie vorgeschlagen, bei der für jedes Übergangselement ein lokales Unterproblem gelöst wird.

The present work begins with a discussion of the different structure of materials on different scales. Depending on the scale, on which the material is regarded, different modelling strategies are better suited. Different methods for modelling discrete structures and continua are presented as well as several methods combining discrete and continuous models.

This work focusses on the development of a mesh and model adaptive method. With approximately the same accuracy, it enables simulation of fragmentation of cohesive frictional materials using a form of the discrete element method (DEM) without resolving the whole structure with particles. This requires modelling of phenomena on different geometric scales. In order to link these scales in a single simulation, coupling of the finite element method (FEM) and the DEM is suggested. The proposed concept transfers ideas from the quasicontinuum method in the field of atomistics to problems in structural mechanics of cohesive frictional materials. The proposed concept transfers ideas from the quasicontinuum method (TADMOR et al., 1996) in the field of atomistics to problems in structural mechanics of cohesive frictional materials.

The kinematics in the method presented herein is obtained from FEM whereas DEM yields the constitutive behavior. Round, equally sized and regularly ordered particles, which interact via springs, build the microstructure (in two dimensions). With respect to the constitutive law, three levels of resolution are introduced. In the homogeneous case, where all springs have the same stiffness, Cauchy-Born rule can be applied in order to determine a substitute stiffness of the transition elements. When the spring stiffnesses are heterogeneously distributed, this is not possible. A strategy where a substitute problem is solved for each transition element is suggested for these cases.