An XFEM-based model for fluid flow in fractured porous media

Abstract

Many fields of applications for porous media flow include geometrically anisotropic inclusions and strongly discontinuous material coefficients which differ in orders of magnitude. If the extension of those heterogeneities is small in normal direction compared to the tangential directions, e.g., long and thin, those features are called fractures. Examples which include such fractured porous-media systems in earth sciences include reservoir engineering, groundwater-resource management, carbon capture and storage (CCS), radioactive-waste reposition, coal bed methane migration in mines, geothermal engineering and hydraulic fracturing.

The analysis and prediction of flow in fractured porous-media systems is important for all the aforementioned applications. Experiments are usually too expensive and time consuming to satisfy the demand for fast but accurate decision making information. Many different conceptual and numerical models to treat fractured porous-media systems can be found in the literature. However, even in the time of large supercomputers with massive parallel computing power, the computational efficiency, and therefore the economic efficiency, plays a dominating role in the evaluation of simulation software.

In this thesis an efficient method to simulate flow in fractured porous media systems is presented. Darcy flow in fractures and matrix is assumed. The presented method is suited best for flow regimes depending on both, the fractures and the surrounding rock matrix and is able to account for highly conductive but also almost impermeable fractures with respect to the surrounding matrix.

The newly developed method is based on a co-dimension one conceptual model for the fracture network which is embedded in the surrounding matrix. The basis for this model reduction is given in Martin et al. (2005). Numerically the fracture network is resolved by its own grid and coupled to the independent matrix grid. The discretization on this matrix grid allows jumps in the solution across the geometrical position of the fractures within elements by discontinuous basis functions. This discretization method is known as eXtended Finite Element Method (XFEM). A similar approach was simultaneously developed in D’Angelo and Scotti (2012).

The main novelty of this work is the extension of the aforementioned conceptual model, which only accounts for a single fracture ending on the boundary of the matrix domain, towards more complex fracture networks and suitable boundary conditions. This work can be structured into the development and implementation of three conceptual models (see 1–3 below) and their respective validation. It is followed by an evaluation of quality and efficiency with respect to established models (see 4 below). The implementation is carried out using DUNE, a toolbox for solving partial differential equations.

1. The first extension is the treatment of fractures, which end inside the domain. This includes the conceptual coupling at the fracture tips as well as the numerical treatment within the XFEM of the matrix elements, in which the fracture ends. The validation shows, that the proposed treatment is efficient and for most validation cases produces the desired accuracy.

2. In the second part, a conceptual model for intersecting fractures is developed and the implementation within the XFEM is presented. The validation shows that the proposed model and implementation can capture the complex physics of fracture crossings very accurately.

3. Of special interest are the boundary conditions for lower-dimensional fractures intersecting the matrix boundary. The established models very often use for simplicity constant values across lower-dimensional intersections. This is physically not always correct, because in reality lower-dimensional objects do not exist and if a gradient on the rock matrix boundary exists, there is also a gradient on the fracture boundary. Therefore, a sophisticated interpolation method is proposed. It is easy to apply because very often discrete measured data is given to the model as input anyway and the proposed interpolation of values at the boundary is separated from the flow problem inside the domain. The concepts and results of the crossing model (2) and the boundary-condition interpolation (3) are published in Schwenck et al. (2014).

4. To show the performance of the newly developed model including the three major aspects mentioned above, it is compared against several established models and implementations within the simulation framework DuMux. The results of this comparison are published in Schwenck et al. (2015).

The model presented here combines the advantages of lower-dimensional models and non-matching grids while keeping the ability to represent the fracture geometry and its influence on the matrix flow field exactly. Therefore, it is an efficient alternative to established models.

Beispiele für poröse Medien sind ein Schwamm, menschliches Gewebe oder der Erdboden. Strömungen durch solche porösen Medien sind sehr stark beeinflusst durch die räumliche Struktur des jeweiligen porösen Mediums. Parameter, die diese Strukturen von einer volumengemittelten Perspektive aus beschreiben, können um mehrere Größenordnungen verschieden sein. Ist solch eine Struktur besonders dünn im Vergleich zu ihrer sonstigen Ausdehnung wird sie als Kluft bezeichnet. Anwendungsbeispiele solch geklüftet-porösen Medien im Bereich der Geowissenschaften sind Erdölförderung, Grundwassermanagement, CO 2-Speicherung, Atommülllagerung, Methanausbreitung in Kohleflözen, geothermische Energiegewinnung und Fracking.

Die Untersuchung von und die Vorhersage für Strömungen in porösen Medien ist bedeutend für all die oben genannten Beispielanwendungen. Experimente durch die vergleichbare Erkenntnisse gewonnen werden könnten sind in der Regel zu teuer oder dauern zu lange, so dass sie nicht immer herangezogen werden können um fundierte Entscheidungshilfen zu liefern. Es gibt viele verschiedene konzeptuelle und numerische Modelle, die sich mit der Simulation von geklüftet-porösen Medien beschäftigen. Obwohl die verfügbaren Computer immer effizienter werden und bessere Rechenleistung zur Verfügung stellen, dominiert die Effizienz bezüglich der Rechenzeit und damit die ökonomische Effizienz, die Entwicklung und den Einsatz fast aller Simulationsmodelle.

In dieser Arbeit wird solch ein effizientes Simulationsmodell, spezialisiert auf geklüftet-porösen Medien, vorgestellt. Vorausgesetzt wird Darcy-Strömung sowohl in den Klüften als auch in der umgebenden Matrix. Die hier vorgestellte Methode eignet sich am besten für Fälle, in denen das gesamte Strömungsbild weder von den Klüften noch der Matrix dominiert ist, sondern beide einen bedeutenden Einfluss ausüben. Außerdem kann das hier vorgestellte Modell, im Gegensatz zu etablierten Modellen, sowohl sehr durchlässige als auch sehr undurchlässige Klüfte simulieren.

Das in dieser Arbeit entwickelte konzeptuelle Modell ist ein Modell für Klüfte, die eine Kodimension von eins zur sie umgebenden Matrix haben. Klüfte und Matrix sind voll gekoppelt. Der Teil der Dimensionsreduktion der Klüfte basiert auf der Arbeit von Martin et al. (2005). Das numerische Modell ist so ausgelegt, dass es unabhängige Gitter für Kluftnetzwerk und Matrix erlaubt. Eine Besonderheit des numerischen Modells für den Matrixanteil ist, dass es durch Einführen zusätzlicher Freiheitsgrade und unstetiger Basisfunktionen, Unstetigkeiten in der Lösung an den geometrischen Positionen von Klüften zulässt. Diese Methode wird eXtended Finite Element Method (XFEM) genannt. Ein ähnlicher Ansatz wurde zeitgleich zu dieser Arbeit in D’Angelo and Scotti (2012) entwickelt. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit ist die Erweiterung des oben genannten Modellkonzepts, welches nur am globalen Rand des Simulationsgebietes endende Einzelklüfte, berücksichtigt. Die Erweiterung beinhaltet komplexere Kluftnetzwerke und passende Randbedingungen. Sie lässt sich wie folgt gliedern: Entwicklung und Implementierung von drei konzeptuellen Modellen (siehe unten 1–3) und ihre Validierung (siehe unten 4), gefolgt von einer Bewertung der Qualität und Effizienz bezüglich vorhandener Modelle. Die Implementierung wurde mit Hilfe von DUNE umgesetzt. DUNE ist eine Programmierumgebung zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen.

1. Die erste Erweiterung ist die Behandlung von Kluftenden. Sie beinhaltet die numerische Behandlung im Rahmen der XFEM, aber auch die Entwicklung eines konzeptuellen Models für die Strömung im Kluftende. Die Validierung zeigt, dass das vorgestellte Modell effizient ist und für die meisten Fälle die gewünschte Genauigkeit liefert.

2. Im zweiten Teil wird ein neues Modellkonzept für Kluftkreuzungen entwickelt und eine passende XFEM Implementierung vorgestellt. Auch hier zeigt die Validierung numerisch stabile Ergebnisse, die im niederdimensionalen Modell trotzdem die komplexe, equidimensionale Physik wiedergeben.

3. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf dem Umsetzen von physikalisch sinnvollen Randbedingungen für niederdimensionale geklüftet-poröse Medien bei nur wenig gegebenen Messwerten. Vorhandene Modelle benutzen sehr häufig am Rand konstante Werte oder kontinuierliche, lineare Interpolationen über niederdimensionale Klüfte hinweg. Dies ist physikalisch nicht immer korrekt, denn wenn ein Gradient am Rand der Matrix vorliegt, wirkt sich dieser auch am Rand der Kluft aus. In dieser Arbeit wird eine neue Möglichkeit zur Interpolation von Druckwerten am Rand vorgestellt, welche die Physik von Anwendungen besser wiederspiegelt. Außerdem ist diese Interpolation leicht in bestehende Modelle zu integrieren, da das das Problem am Rand separat vom Problem innerhalb des Gebietes gelöst werden kann. Die Konzepte und Ergebnisse des Kreuzungsmodells (2) und der Randbedingungsinterpolation (3) sind in Schwenck et al. (2014) veröffentlicht.

4. Um die gesamte Leistungsfähigkeit des neuen Modells mit seinen drei Teilen zu ermitteln, wird es anhand von verschiedenen Beispielen mit vorhandenen und etablierten Modellen aus dem Simulator DuMu x verglichen. Diese Ergebnisse sind in Schwenck et al. (2015) veröffentlicht.

Das hier vorgestellte Modell vereint die Vorteile von niederdimensionalen Kluftmodellen mit den Vorteilen von Modellen, die auf unabhängigen Gittern basieren. Es kann trotz der Modellreduktion den Einfluss komplizierte Kluftgeometrien auf die Strömung exakt abbilden und ist deshalb eine effiziente Alternative zu vorhanden Modellen.