Topology and morphology of bounded vector fields

Abstract

Vector fields are a fundamental concept in science, and as they can represent properties from electromagnetic fields to the dynamics of fluid flow, their visualization assists the study and comprehension of many physical phenomena. Aiming to extract the global structure of streamlines with respect to regions of qualitatively different behavior, the concept of vector field topology basically consists of locating singularities, i.e., critical points and periodic orbits, and computing the sets of streamlines that converge to them in positive or negative direction, called separatrices. On the one hand, this approach has proven its valuable contributions to scientific visualization, on the other hand, its limitations with respect to bounded domains have not yet been sufficiently researched, and only comparably few approaches exist for such configurations. This thesis contributes to vector field visualization, in particular to vector field topology on bounded domains, with new techniques that range from feature extraction, integration-based approaches, and topology-based approaches. More specifically, the contributions of this thesis are the following. A local extraction technique for bifurcation lines is proposed, together with the extraction of their manifolds. Bifurcation lines represent a topological feature that has not yet been sufficiently recognized in scientific visualization. The bifurcation lines are extracted by a modification of the vortex core line extraction techniques due to Sujudi and Haimes, and Roth and Peikert, both formulated using the parallel vectors operator. While the former formulation provides acceptable results only in configurations with high hyperbolicity and low curvature of the bifurcation lines, the latter operates only well in configurations with low hyperbolicity but is able to perform well with strong curvature of the bifurcation lines, however, with the drawback that it often fails to provide a solution. The refinement of the solutions of the parallel vectors operator is presented as a means to improve both criteria and, in particular, to refine the solutions of the Sujudi and Haimes criterion in cases where the Roth and Peikert criterion fails. This technique is exemplified on synthetic data, data from computational fluid dynamics, and on magnetohydrodynamics data. As a particularly interesting application, it is demonstrated that this technique is able to extract saddle-type periodic orbits locally, and in case of high hyperbolicity at higher accuracy than traditional techniques based on integral curves. Solar dynamics data, particularly those from the Solar Dynamics Observatory, are now available in a sheer volume that is hard to investigate with traditional visualization tools, which mainly display 2D images. While the challenge of data access and browsing has been solved by web-based interfaces and efforts like the Helioviewer project, the approaches so far only provide 2D visualizations. The visualization of such data in the full 3D context is presented, providing appropriate coordinate systems and projection techniques, including time. Methods from volume rendering and flow visualization are applied to 3D solar magnetic fields, which are derived from the sensor data in an interactive process. They are applied and extended to the space-time visualization of photospheric data, and a view-dependent visualization of coronal holes is presented. This work concentrates on two solar phenomena: the structure and dynamics of coronal loops, and the temporal evolution of the plasma convection in close vicinity of sunspots over time. This approach avoids the time coherence issue inherent in traditional magnetic field line placement, providing insight in the magnetic field and the structure of the coronal plasma. The presented techniques are also applicable in many other fields, such as terrestrial magnetospheric physics, or magnetohydrodynamics simulations. Inspired by the view-dependent visualization of coronal holes, this thesis also presents a technique to visualize the streamline-based mapping between the boundary of a simply-connected subregion of arbitrary 3D vector fields. While the streamlines are seeded on one part of the boundary, the remaining part serves as escape border. Hence, the seeding part of the boundary represents a map of streamline behavior, indicating if streamlines reach the escape border or not. Since the resulting maps typically exhibit a very fine and complex structure and are thus not amenable to direct sampling, this approach instead aims at topologically consistent extraction of their boundary. It is shown that isocline surfaces of the projected vector field provide a robust basis for streamsurface-based extraction of these boundaries. The utility of this technique is demonstrated in the context of transport processes using vector field data from different domains like Magma flow, coronal magnetic fields for the extraction of coronal holes, and computational fluid dynamics. Streamsurfaces are of fundamental importance to the visualization of flows. Among other features, they offer strong capabilities in revealing flow behavior (e.g., in the vicinity of vortices), and are an essential tool for the computation of 2D separatrices in vector field topology. Computing streamsurfaces is, however, typically expensive due to the difficult triangulation involved, in particular when triangle sizes are kept in the order of the size of a pixel. Different image-based approaches are here investigated for rendering streamsurfaces without triangulation, and a new technique that renders them by dense streamlines is proposed. Although this technique does not perform triangulation, it does not depend on user parametrization to avoid noticeable gaps. A GPU-based implementation shows that this technique provides interactive frame rates and low memory usage in practical applications. It is also shown that previous texture-based flow visualization approaches can be integrated with this method, for example, for the visualization of flow direction with line integral convolution.

Vektorfelder stellen ein grundlegendes Konzept in der Wissenschaft dar, und da sie Eigenschaften in weiten Bereichen repräsentieren können, von elektromagnetischen Feldern zur Dynamik von Strömungen, unterstützt ihre Visualisierung die Untersuchung und das Verständnis vieler physikalischer Phänomene. Mit dem Ziel, die globale Struktur von Stromlinien bezüglich der Regionen ihres qualitativ ähnlichen Verhaltens zu extrahieren, besteht das Konzept der Vektor\-feld-Topologie grundsätzlich darin, Singularitäten, bestehend aus kritischen Punkten und periodischen Orbits, zu bestimmen und die Mengen von Stromlinien, Separatrizen genannt, welche gegen diese Singularitäten vorwärts oder rückwärts konvergieren, zu berechnen. Auf der einen Seite hat sich die Vektorfeld-Topologie in der wissenschaftlichen Visualisierung bewährt, andererseits sind ihre Limitierungen hinsichtlich der Anwendbarkeit auf begrenzten räumlichen Gebieten noch nicht ausreichend erforscht und es stehen nur vergleichsweise wenige Ansätze für solche Konfigurationen zur Verfügung. In dieser Arbeit wurden neue Techniken auf dem Gebiet der Vektorfeld-Visualisierung entwickelt, insbesondere der Vektorfeld-Topologie auf begrenzten Gebieten, mit neuen Techniken, welche sich von der Merkmalsextraktion über integrationsbasierte Ansätze zu topologischen Methoden erstrecken. Insbesondere liefert diese Dissertation folgende Beiträge. Es wird eine Extraktionstechnik für Bifurkationslinien und deren Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Bifurkationslinien stellen ein topologisches Merkmal dar, welches in der wissenschaftlichen Visualisierung noch nicht ausreichend Beachtung gefunden hat. Die Bifurkationslinien werden mittels einer Modifikation der Techniken zur Wirbelkernextraktion von Sujudi und Haimes sowie Roth und Peikert extrahiert, in der Formulierung des Parallel Vectors Operators. Während die erstgenannte Technik nur in Fällen mit starker Hyperbolizität und schwacher Krümmung der Bifurkationslinien akzeptable Resultate liefert, funktioniert die zweite nur gut in Konfigurationen mit schwacher Hyperbolizität, kann dafür aber auch stark gekrümmte Bifurkationslinien extrahieren. Andererseits gelingt es der zweiten Methode oft gar nicht, eine Bifurkationslinie zu extrahieren. Diese Schwächen motivieren unseren Ansatz, die Lösungskurven des Parallel Vectors Operators beider Ansätze zu verfeinern, insbesondere die des Ansatzes von Sujudi und Haimes, in Fällen, in denen die Methode von Roth und Peikert keine Lösung liefert. Diese Technik wird mittels synthetischer Daten, Daten aus der numerischen Strömungsmechanik und magnetohydrodynamischer Daten demonstriert und evaluiert. Als eine besonders interessante Anwendung wird gezeigt, dass mittels dieser lokalen Technik periodische Orbits vom Typ Sattel extrahiert werden können und in Fällen hoher Hyperbolizität mit höherer Genauigkeit als mittels traditioneller Techniken basierend auf Integralkurven. Daten der Solardynamik, insbesondere die vom Solar Dynamics Observatory, sind heutzutage in einem Umfang verfügbar, dass es schwierig ist, diese mittels traditioneller Techniken zu untersuchen, welche sich hauptsächlich auf die Darstellung zweidimensionaler Bilder beschränken. Während die Herausforderung des Datenzugriffs und der Suche in diesen Daten mittels Web-Schnittstellen und Ansätzen wie dem Helioviewer-Projekt bereits gelöst sind, liefern diese Ansätze bisher nur zweidimensionale Visualisierungen. In dieser Dissertation wird die Visualisierung solcher Daten im vollen 3D Kontext vorgestellt, basierend auf geeigneten Koordinatensystemen und Projektionstechniken, wobei Zeit explizit einbezogen wird. Es werden Methoden der Volumenvisualisierung und Strömungsvisualisierung auf dreidimensionale solare Magnetfelder angewandt, welche aus Sensordaten in einem interaktiven Prozess abgeleitet werden. Diese Methoden werden zur räumlich-zeitlichen Visualisierung photosphärischer Daten angewandt und erweitert, und es werden betrachterabhängige Visualisierungstechniken für koronale Löcher vorgestellt. Diese Arbeit fokussiert auf zwei solare Phänomene: die Struktur und Dynamik koronaler Löcher und die zeitliche Entwicklung der Konvektion des Plasmas in der Nähe von Sonnenflecken. Der hierfür vorgestellte Ansatz vermeidet die mit traditionellen Ansätzen verbundenen Probleme der zeitlichen Kohärenz und erlaubt Einblicke in das Magnetfeld und die Struktur des koronalen Plasmas. Die vorgestellten Techniken können in vielen weiteren Gebieten eingesetzt werden, beispielsweise der Physik der Magnetospähre der Erde und der Magnetohydrodynamik. Inspiriert durch die betrachterabhängige Visualisierungstechnik für koronale Löcher, präsentiert diese Dissertation auch eine Technik, um die stromlinienbasierte Abbildung zwischen dem Rand eines einfach zusammenhängenden Teilbereichs beliebiger 3D Vektorfelder zu visualisieren. Während die Stromlinien auf einem Teil des Randes gesät werden, dient der restliche Rand als sogenannte Flucht-Schwelle. Somit stellt der Saatbereich eine Abbildung des Stromlinienverhaltens dar und zeigt an, ob die an einem Punkt gestartete Stromlinie die Flucht-Schwelle erreicht oder nicht. Da die resultierenden Abbildungen typischerweise eine sehr feine und komplexe Struktur aufweisen und deshalb nicht mittels direkter Abtastung zugänglich sind, hat der vorgestellte Ansatz stattdessen die Extraktion ihrer Ränder zum Ziel. Es wird gezeigt, dass Isoklinflächen des projizierten Vektorfeldes eine robuste Basis für eine Stromflächen-basierte Extraktion darstellen. Der Nutzen dieser Technik wird im Kontext von Transportprozessen demonstriert, anhand Vektorfeld-Daten aus verschiedenen Gebieten, wie zum Beispiel der Magmaströmung, der koronalen Magnetfelder zur Extraktion koronaler Löcher und der numerischen Strömungsmechanik.