Coupled problems in the mechanics of multi-physics and multi-phase materials

Abstract

To select a suitable solution strategy is certainly a vital step towards successful simulation of physical phenomena. Considering this, the presented study was set out to explore the important aspects regarding numerical treatment of couple problems stemming from mathematical modelling of coupled multi-field systems. Such coupled systems are observed in a broad range of applications in distinct disciplines. The versatility of the applications has attracted many experts, who have examined coupled problems from different angles. Thus, the mission to fulfil the goals of the present project entailed scrutinising a complex field comprising a vast number of publications incorporating various nomenclatures, classifications, solution strategies, stability analysis procedures, etc. Reviewing the related works, it was noticed that in many cases either a proper explanation of the presented procedures is missing or authors interpret the methods in a rather mathematical way that makes it puzzling for researchers from more application-oriented disciplines. Recognising this flaw, the focus was especially directed towards avoiding abstraction and, instead, presenting an interpretation of the related concepts in an application-friendly style. To this end, a great amount of effort was invested in understanding and explaining the solution strategies proposed for the coupled problems and revealing the relations between them. In particular, several partitioning techniques, including the primal and the dual Schur complement methods, the global and the localised Lagrange-multiplier schemes, and also partitioning methods that follow a staggered integration were investigated and the relations between them were established. Apart from that, the notions related to the stability of the numerical schemes were introduced and their significance was explained. In particular, the terminologies, the stability criteria and the relation between them were reinterpreted in an application-related manner, where the explanations were supported by several examples. This study eventually led to the development of a stability analysis algorithm that can be employed to find the critical grid sizes in different scenarios with minimum difficulty and without any need to solve the whole problem. Furthermore, our attempt in employing the localised Lagrange-multiplier method for partitioning of the surface- coupled problem of fluid-porous-media interaction led to a parallel decoupled solution strategy, comprising a novel application of the concept of modified Eulerian description for describing the motion of a fluid body within moving boundaries, implementation of the penalty method for modelling of fluid as well as porous bodies using the FE-solver PANDAS, and generation of a workflow structure facilitating communication between existing modules of PANDAS.

Viele ingenieurwissenschaftliche, physikalische, biologische und chemische Fragestellungen erfordern eine umfassende Betrachtung von Systemen mit dynamischer Interaktion zwischen mehreren heterogenen Komponenten. Einige der bekanntesten Beispiele hierfür sind die Interaktion zwischen Deformation und Temperatur bei thermomechanischen Problemen, die gegenseitige Abhängigkeit von Flüssigkeitsdruck und Strukturverschiebung in Konsolidierungsprozessen, der Kräfteaustausch zwischen dem Körper eines Unterseebootes mit dem umgebenden Wasser und Knochenverdichtung als Reaktion auf körperliche Beanspruchungen. Die mathematische Beschreibung solcher Phänomene mit Hilfe von Kontinuumstheorien, wie beispielsweise der Theorie Poröser Medien (TPM), führt häufig auf gekoppelte differential-algebraische Gleichungen oder partielle Differentialgleichungen, die prinzipiell analytisch oder auch numerisch gelöst werden können. Die analytischen Verfahren liefern die exakten Lösungen der Gleichungen. Dennoch können diese Methoden meist nur auf eine eingeschränkte Klasse von Problemen angewandt werden (z.B. lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten). Darüber hinaus führen analytische Verfahren oftmals zu sehr komplexen Ausdrücken, weshalb in vielen Fällen auf numerische Lösungsverfahren zurückgriffen werden muss. Mit Hilfe von numerischen Verfahren kann zwar nicht die exakte Lösung berechnet werden, sie lässt sich jedoch approximieren. Dabei werden die kontinuierlichen Differentialgleichungen durch diskrete ersetzt. Dieses Verfahren wird üblicherweise in zwei Schritten durchgeführt: der räumlichen Diskretisierung und der zeitlichen Integration. Durch die Ortsdiskretisierung werden die räumlichen Ableitungen eliminiert, und es verbleiben nur noch gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE), welche zeitlich integriert werden müssen. Diese Integration geschieht gewöhnlich mit Hilfe einer monolithischen oder einer entkoppelten Strategie. Im Rahmen einer monolithischen Vorgehensweise gilt das gesamte Problem als eine Einheit, für die alle Komponenten simultan, d.h. unter Verwendung identischer zeitlicher Integrationsverfahren und ähnlicher Zeitschrittgröße, aktualisiert werden. Solche Löser sind besonders dann zu bevorzugen, wenn die Kopplung zu hochgradig nichtlinearen Gleichungssystemen führt oder wenn die interagierenden Felder vergleichbare Längenskalen oder Entwicklungsraten aufweisen. Darüber hinaus sei erwähnt, dass monolithische Methoden, die auf impliziten Zeitintegrationsverfahren basieren, zu unbedingt stabilen numerischen Lösungen führen. Die Verwendung monolithischer Lösungsmethoden ist jedoch tendenziell nicht empfehlenswert, wenn das System Komponenten mit stark unterschiedlichen Entwicklungsraten enthält, spezialisierte Löser für die interagierenden Komponenten bereits existieren, oder ein anwendungsorientiertes Problem mit sehr vielen Freiheitsgraden berücksichtigt werden muss. Die Unzulänglichkeit monolithischer Löser in solchen Fällen hat zur Entwicklung entkoppelter Lösungsmethoden geführt. Entkoppelte Lösungsmethoden lassen sich durch Verwendung unterschiedlicher Techniken, wie räumliche Partitionierung, Zerlegung von Differentialoperatoren, oder einer Kombination aus beidem, entwickeln. Diese Techniken ermöglichen eine Zerlegung des Problems in kleinere Teilprobleme, welche mit Hilfe individuell angepasster Lösungs- und Diskretisierungslgorithmen für die interagierenden Komponenten parallel oder sequentiell gelöst werden können. Derartige Möglichkeiten haben zur Entwicklung diverser entkoppelter Lösungsmethoden beigetragen. In diesem Zusammenhang seien hier die Anwendungen in Bereichen der Fluid-Struktur-Interaktion und Simulation fluid-gesättigter poröser Medien als typische Beispiele genannt. Die Entkopplung der Gleichungen erhöht allerdings das Risiko einer nur bedingt stabilen Lösungsmethode. Die Stabilitätsanalyse ist daher ein äußerst wichtiger Schritt bei der Entwicklung neuer, entkoppelter Lösungsmethoden. Aus den oben genannten Gründen kann gefolgert werden, dass für die erfolgreiche Einführung einer effizienten Lösungsstrategie je nach Problemstellung zwei Voraussetzungen wesentlich sind: die Bestimmung der Eigenschaften des zu lösenden Problems einerseits und die Kenntnis vorhandener Lösungsoptionen andererseits. Es werden daher in dieser Arbeit wichtige Aspekte der mathematischen Simulation gekoppelter Phänomene im Rahmen der Kontinuumsmechanik untersucht, die Kopplungsmechanismen in verschiedenen Fällen geprüft und die Optionen für eine monolithische oder entkoppelte Lösung der Gleichungssysteme untersucht. Darüber hinaus wird basierend auf der von-Neumann-Methode ein Algorithmus zur Stabilitätsanalyse numerischer Lösungsstrategien eingeführt. Abschließend wird die Anwendbarkeit der vorgestellten Lösungsmethoden auf typische gekoppelte Probleme überprüft und die Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen des Stabilitätsanalyse-Algorithmus und den numerisch berechneten Resultaten gezeigt.