Die KdV-Gleichung und inverse Streutheorie

Abstract

Im Jahr 1834 beobachtete der britische Ingenieur JOHN SCOTT RUSSELL die Ausbreitung von Flachwasserwellen im Edinburgh-Glasgow Kanal. Dabei stellte er wesentliche Eigenschaften der später als Soliton bekannten Welle fest. Es handelt sich hierbei um eine Wellenform, die für fortschreitende Zeit und Ausbreitung unverändert bleibt. Treffen zwei dieser Wellen mit derselben Ausbreitungsrichtung aufeinander, d.h. eine langsame Welle wird von einer Schnelleren eingeholt, so gehen schließlich beide Wellen in unveränderter Form und umgekehrter Reihenfolge wieder hervor. Bei der Kollision kommt es NICHT zu einer Überlagerung im Sinne des Superpositionsprinzips. Wellenpakete dieser Art werden durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen wie die Korteweg-de-Vries (KdV)-Gleichung beschrieben. Als Methode zur Berechnung von Solitonenlösungen wird in der vorliegenden Arbeit die Inverse Streutransformation (IST) verwendet. Eine der grundlegenden Fragen ist, ob ein gegebenes Streupotential als Anfangsbedingung zu einer Solitonenlösung führt oder nicht, was Anlass zur Entwicklung eines derartigen Kriteriums gab. Da die gängige Literatur von einem Standardbeispiel für Solitonen dominiert wird, bestand das hauptsächliche Ziel der Arbeit darin, mittels der Inversen Streutransformation ALLE Ein- und Zwei-Solitonenlösungen der KdV-Gleichung zu berechnen. In Eigenleistung und mit persönlichem Einsatz wurde hierfür eine allgemeine Lösungsformel ermittelt. Durch direktes Einsetzen der Streudaten erhalten wir nun alle gesuchten Ein- und insbesondere Zwei-Solitonenlösungen. Darauf aufbauend wurde als weiteres ambitioniertes Vorhaben der Interaktionszeitpunkt ALLER Zwei-Solitonenlösungen berechnet. Abschließend wurde die allgemeine asymptotische N-Solitonenlösung dargelegt und die Frage untersucht, ob mittels IST alle Solitonenlösungen der KdV-Gleichung erreicht werden.