Entwicklung kontinuumskompatibler Federmodelle

Abstract

Die numerische Simulation des Versagensverhaltens von Werkstoffen ist eine Problemstellung, die bis heute noch nicht vollständig gelöst ist. Neben den klassischen Kontinuumsmodellierungen wie den erweiterten Finiten Elementen werden hierfür oftmals diskrete Modelle verwendet. Diese bieten den Vorteil, dass das diskrete Phänomen des Risses durch einfaches Entfernen von diskreten Elementen modelliert werden kann, wohingegen Kontinuumsmethoden eine kontinuierliche Beschreibung des Verschiebungsfelds in der Nähe der Rissspitze erfordern. Die Zuverlässigkeit bestehender diskreter Modelle ist jedoch durch signifikante Probleme in ihrer Modellierung stark eingeschränkt. So können sie bislang in der Regel homogene, klassische Kontinua nur unter Beschränkung auf isotrope Materialien bestimmter Querkontraktionszahlen abbilden. Zudem kann die Homogenität des diskreten Modells nur gewährleistet werden, indem periodische Rechengitter verwendet oder Kontinuumselemente wie Finite Elemente in das Modell eingebaut werden. Auch plastisches Verhalten - insbesondere die reine deviatorische Natur des plastischen Fließens - kann in diesen Modellen nicht abgebildet werden. In dieser Arbeit wird ein neues, kontinuumskompatibles Federmodell für zwei- und dreidimensionale quasistatische Anwendungen entwickelt, das diesen Beschränkungen nicht unterworfen ist. Hierzu werden neue Federzellen eingeführt, die mithilfe einer Kombination aus Normalkraft- und Winkelfedern einen beliebigen konstanten Dehnungszustand bei einem homogenen Material abbilden können. Es wird gezeigt, dass dieses Modell somit in der Lage ist, für Netze aus Simplex-Zellen beliebiger Geometrie ein beliebiges homogenes Material mit anisotropen Elastizitätseigenschaften im linear-elastischen Fall zu approximieren. Sie verhalten sich damit im linear-elastischen Fall so wie die linearen Dreiecks- und Tetraederelemente, die aus der Methode der Finiten Elemente bekannt sind. In der Folge wird das zweidimensionale Federmodell um eine Modellierung für elasto-plastisches Materialverhalten mit isotroper Verfestigung erweitert und dargelegt, wie auch andere Plastizitätsformulierungen in das Federmodell integriert werden können. Bei dieser Plastizitätsmodellierung werden mithilfe des dehnungsbasierten Ansatzes der Kontinuumsplastizität die plastischen Änderungen der Federn berechnet. Es wird demonstriert, dass das entwickelte Modell - erstmals für ein diskretes Modell - in der Lage ist, auch die Volumenerhaltung der plastischen Verformung exakt abzubilden. Zusätzlich wird auf den Effekt der Lokalisierung der plastischen Dehnung in Scherbändern eingegangen. Abschließend wird eine Formulierung für die Simulation von Rissen für dieses Modell vorgestellt. Analog zu diskreten Modellen aus der Literatur werden dabei sowohl dehnungsbasierte Bruchkriterien für die Federn verwendet, die die Lage der Federn berücksichtigen, als auch solche, die unabhängig von der Orientierung der Federn sind. Es kann dabei gezeigt werden, dass dieses Rissmodell im Stande ist, in Versuchen ermittelte Risspfade zu reproduzieren, sofern ein geeignetes Bruchkriterium für die Federn gewählt wird. Auch der duktile Bruch kann mit diesem Ansatz bei Nutzung der entwickelten Plastizitätsformulierung approximiert werden. Das neu entwickelte Modell ist damit in der Lage, die erwähnten Nachteile der aus der Literatur bekannten diskreten Federmodelle zu beheben, während es zugleich in der Risssimulation, für die solche Modelle regelmäßig verwendet werden, die Pfade des Risswachstums zuverlässig vorhersagen kann.

One of the major problems which are yet to be solved by means of modern numerical simulations is the simulation of the fracture process of materials. To achieve this end, both simulation techniques describing the material as a continuous system and techniques using a discrete approach are used. The advantage of the latter is the fact that in these models a crack is simply formed by removal of a discrete element, whereas the former needs a description of the displacement field in the vicinity of the crack. However, discrete models currently described in literature show severe problems. The most pressing problem is that they cannot be used for modelling arbitrary homogeneous materials in computations with aperiodic meshes. While some models are able to model some homogeneous materials, they are still limited in their choice of the material parameters. In specific, these models allow only the use of isotropic materials with a fixed Poisson's ratio. An additional problem of these models is that nonlinear phenomena of the continuous material such as plasticity cannot be modelled at all without violating constraints posed by the observation of these phenomena. For example, in the case of plastic deformation the strict deviatoric nature of the plastic flow cannot be enforced upon existing discrete models. This means that such models are so far not suitable for the fracture simulation of materials with a non-negligible plastic flow before fracture. In this work, a new discrete lattice spring model for two- and three-dimensional quasi-static applications is proposed. With this model, which is comprised of normal springs and angular springs arranged in triangular and tetrahedral cells, an arbitrary homogenous material can be approximated. Within the limits of a linear-elastic analysis, this approximation is exact for every constant strain field within each cell. It thus has in this case the same properties as constant strain triangles and constant strain tetrahedrons known from the Finite Element Method. Following the introduction of this new lattice spring model, a method of modelling elasto-plastic behaviour in this model is proposed. Using a strain-driven plasticity model, both perfect plasticity and plasticity with hardening and softening can be reproduced with this approach. By mapping the continuum plastic flow resulting from this approach to the lattice springs, the discrete nature of the model is maintained. In addition, the compliance with the deviatoric nature of the plastic flow in this approach is proven and localisation phenomena occurring in this model are discussed. Finally, the fracture modelling within the context of the proposed model is discussed. Following literature, strain-driven fracture criteria are chosen for the model. These are applied both in a directional, that is along the axes of the springs, and in a rotationally invariant version. As is shown in simulations, the right choice of the fracture criterion leads to the development of crack paths during simulations, which closely follow those observed in experiments. This is the case for both brittle fracture and ductile fracture when using the proposed plasticity formulation. It is thus justified to conclude that the proposed model can be used to solve the aforementioned problems of the discrete models in literature whilst their main advantage, that is the ability to predict crack paths with simple fracture models, is being retained.