08 Fakultät Mathematik und Physik

We address the challenging application of 3D pore scale reactive flow under varying geometry parameters. The task is to predict time-dependent integral quantities, i.e., breakthrough curves, from the given geometries. As the 3D reactive flow simulation is highly complex and computationally expensive, we are interested in data-based surrogates that can give a rapid prediction of the target quantities of interest. This setting is an example of an application with scarce data, i.e., only having a few available data samples, while the input and output dimensions are high. In this scarce data setting, standard machine learning methods are likely to fail. Therefore, we resort to greedy kernel approximation schemes that have shown to be efficient meshless approximation techniques for multivariate functions. We demonstrate that such methods can efficiently be used in the high-dimensional input/output case under scarce data. Especially, we show that the vectorial kernel orthogonal greedy approximation (VKOGA) procedure with a data-adapted two-layer kernel yields excellent predictors for learning from 3D geometry voxel data via both morphological descriptors or principal component analysis.

Der metallische Leiter, welcher in Form eines Gitters auf der Oberfläche einer Solarzelle angebracht ist, heißt Grid. Die Funktion dieses Grids ist es, den in der Absorberschicht einer Solarzelle erzeugten Strom, ohne große Verluste, an der Oberfläche zum externen Abgreifpunkt zu leiten. Durch die sehr gute Leitfähigkeit des Grids wird ein verlustarmer Ladungstransport ermöglicht. Allerdings bewirkt das für Lichtstrahlen undurchdringbare Grid eine Abschattung der Absoberschicht und verhindert, dass an dieser Stelle Strom erzeugt werden kann. Wenn kein Grid angebracht ist, fließt die Ladung durch die oberste Schicht einer Solarzelle. Diese besteht aus transparenten leitfähigen Oxiden (engl. transparent conducting oxides (TCO)). Das TCO lässt Lichtstrahlen durch und dadurch kann Strom erzeugt werden. Obwohl die Schicht den Strom leiten kann, besitzt sie denoch einen sehr hohen elektrischen Widerstand. Das bedeutet, eine geeignete Wahl des Gridmusters verschattet möglichst wenig Fläche der Solarzelle und bietet trotzdem einen flächendeckenden, verlustarmen Ladungsabtransport. Ein Gridmuster, welches beide Anforderungen bestens erfüllt, soll in dieser Bachelorarbeit mithilfe von Topologie-Optimierung gefunden werden. Topologie-Optimierung ist eine mathematische Optimierungsmethode, mit der, innerhalb eines Gebietes, eine optimale Materialverteilung gefunden werden kann, um eine hohe, strukturbedingte Leistung zu erzielen. Im Zuge dieser Arbeit ist dieses Gebiet die Oberfläche einer Solarzelle und das Material, welches auf der Oberfläche verteilt werden soll, ist das Metall, welches das Gridmuster bildet. Die Leistung einer Solarzelle wird mit dem Wirkungsgrad angegeben. Der Wirkungsgrad ist die Effizienz, mit der die Solarenergie in elektrische Energie umgewandelt werden kann. Zur Berechnung des Wirkungsgrades wird das Gebiet mit einem Voronoi-Diagramm in Simplizes unterteilt. Basierend auf der Poisson-Gleichung für elektrische Leitfähigkeit, kann die Ladung, die durch ein Simplex fließt, mit einer Finite-Elemente-Methode berechnet werden. Aus den einzelnen generierten Strömen lässt sich ein Gesamtstrom berechnen, mit welchem die erzeugte, elektrische Energie berechnet werden kann. Der einzige Parameter, welcher zur Berechnung der Effizienz einer Solarzelle benötigt und in dieser Arbeit variiert wird, ist das Gridmuster. Die Komponenten des Dichtevektors geben dabei die Metalldichte eines jeden Simplexes an. Zur Optimierung dieses Dichtevektors werden in dieser Arbeit Optimierungsverfahren verglichen, die in Richtung des steilsten Abstiegs optimieren. Mit einem dieser Ver- fahren werden weitere Modifizierungen des Dichtevektors getestet. Eine der Modifizierungen betrifft dabei die Umgebung des externen Abgreifpunktes. Die aufgebrachte Gridfläche muss an dieser Stelle groß genug sein, damit ein externer Kontakt ohne Probleme angebracht werden kann. Die nächste Modifizierung, die verwendet wird, ist eine Methode zur lokalen Optimierung. Dabei werden die durch die Diskretisierung entstandenen Simplizes zufällig in mehrere lokalen Teilgebiete eingeteilt und der Reihe nach optimiert. Besitzt eine Komponente des Dichtevektors einen Wert von 0 steht dies für kein Grid, während ein Wert von 1 für das vorhanden sein von Grid steht. Die Komponenten des Dichtevektors repräsentieren dabei jeweils ein Simplex und damit eine Teilfläche der Solarzelle. Eine Modifizierung ermöglicht außer den Werten 0 (kein Grid, schlecht leitend, Strom wird erzeugt) und 1 (Grid, gut leitend, kein Strom wird erzeugt) Zwischenwerte. Mit diesen Zwischenwerten kann eine kontinuierliche Optimierung durchgeführt werden. Die Leitfähigkeit bzw. die Möglichkeit Strom zu generieren, wird dabei für Zwischenwerte interpoliert. Je nach Wahl der Interpolationsfunktion, kann der Wert der Leitfähigkeit für Zwischenwerte gut oder schlecht sein. Ebenso für die Menge an generiertem Strom. Sowohl niedrige als auch hohe Werte kommen mit Vorteilen, weshalb eine geschickte Kombination zu einem verbesserten Optimierungsverhalten führen kann. Die letzte Modifizierung, die eine Rolle spielt, ist das Gridmuster, von welchem ausgehend optimiert wird. Dabei wird, unter anderem, das im Labor vom Zentrum für Sonnenenergie- und Wasserstoffforschung Baden-Württemberg (ZSW) verwendete Gridmuster optimiert. Das Ziel dieser Arbeit ist es, mit den kombinierten Methoden und den Ergebnissen der damit durchgeführten Optimierungen ein neues Gridmuster zu konstruieren, welches dem bisher verwendeten Gridmuster überlegen ist.

The aim of the paper is to construct and justify asymptotic approximations for solutions to quasilinear convection-diffusion problems with a predominance of nonlinear convective flow in a thin cylinder, where an inhomogeneous nonlinear Robin-type boundary condition involving convective and diffusive fluxes is imposed on the lateral surface. The limit problem for vanishing diffusion and the cylinder shrinking to an interval is a nonlinear first-order conservation law. For a time span that allows for a classical solution of this limit problem corresponding uniform pointwise and energy estimates are proven. They provide precise model error estimates with respect to the small parameter that controls the double viscosity-geometric limit. In addition, other problems with more higher Péclet numbers are also considered.

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