08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access From simplicial groups to crossed squares(2022) Asiki, Natalia-MariaSimplicial groups are defined to be contravariant functors from the simplex category to the category of groups. The truncation functor maps a simplicial group to a [2,0]-simplicial group, satisfying the Conduché condition. A functor from the category of [2,0]-simplicial groups to the category of crossed squares is constructed, following Porter. It is shown that the latter functor is not an equivalence of categories. In addition, Loday's variant of the resulting crossed square is constructed and shown to be isomorphic to Porter's variant.Item Open Access The discriminant embedding(2021) Döring, Svea RikeWe construct a map from the complex projective n-space into a (3(n+1)n/2-1)-dimensional sphere, called discriminant embedding. In case n = 1, the discriminant embedding is the Riemann sphere map. To show that the discriminant embedding is in fact an immersion, we calculate the determinant of a matrix resulting from its Jacobian. This is related to constructions of G. Mannoury and B. A. Fuks.Item Open Access Spline-Approximation unregelmäßig verteilter Daten(2012) Valentin, JulianDurch Messung erhaltene Daten, deren Positionen von zwei oder mehr Dimensionen abhängen, liegen in der Praxis meistens nicht auf einem regelmäßigen Gitter, sondern sind unregelmäßig verteilt (engl. "scattered data"). Unregelmäßig verteilte Daten entstehen allgemein ausgedrückt durch Auswertung einer multivariaten Funktion an verschiedenen vorgegebenen Punkten, die nicht auf einem regelmäßigen Gitter liegen. Um eine Näherung der Funktionswerte im ganzen Gebiet bestimmen zu können, ist es notwendig, die gegebenen Datenpunkte zu interpolieren, was aber durch die Unregelmäßigkeit der Anordnung der Datenpunkte erheblich erschwert wird. Konkrete Anwendungsbeispiele reichen von der Vermessung des Gravitationsfelds der Erde bis hin zur Erkundung von Öl-Lagerstätten. In dieser Arbeit wird dieses Problem mit Quasi-Interpolation durch Tensorprodukt-B-Splines gelöst. Zunächst wird ein grobes Gitter auf die unregelmäßig verteilten Daten gelegt. Anschließend werden per lokaler Polynom-Approximation Daten auf den Gitterpunkten erzeugt. Schließlich wird durch Quasi-Interpolation ein quasi-interpolierender Spline ermittelt, der als Linearkombination von Tensorprodukt-B-Splines eine sehr effektive Struktur besitzt, die eine schnelle Auswertung und Ableitung der Quasi-Interpolierenden ermöglicht. Der so entstehende Approximationsalgorithmus ist für allgemeine Dimensionalitäten formuliert, erlaubt eine dynamische Einstellung des Approximationsgrades und benötigt keine Triangulierung der Datenpunkte.Item Open Access Die KdV-Gleichung und inverse Streutheorie(2016) Grabmaier, OliviaIm Jahr 1834 beobachtete der britische Ingenieur JOHN SCOTT RUSSELL die Ausbreitung von Flachwasserwellen im Edinburgh-Glasgow Kanal. Dabei stellte er wesentliche Eigenschaften der später als Soliton bekannten Welle fest. Es handelt sich hierbei um eine Wellenform, die für fortschreitende Zeit und Ausbreitung unverändert bleibt. Treffen zwei dieser Wellen mit derselben Ausbreitungsrichtung aufeinander, d.h. eine langsame Welle wird von einer Schnelleren eingeholt, so gehen schließlich beide Wellen in unveränderter Form und umgekehrter Reihenfolge wieder hervor. Bei der Kollision kommt es NICHT zu einer Überlagerung im Sinne des Superpositionsprinzips. Wellenpakete dieser Art werden durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen wie die Korteweg-de-Vries (KdV)-Gleichung beschrieben. Als Methode zur Berechnung von Solitonenlösungen wird in der vorliegenden Arbeit die Inverse Streutransformation (IST) verwendet. Eine der grundlegenden Fragen ist, ob ein gegebenes Streupotential als Anfangsbedingung zu einer Solitonenlösung führt oder nicht, was Anlass zur Entwicklung eines derartigen Kriteriums gab. Da die gängige Literatur von einem Standardbeispiel für Solitonen dominiert wird, bestand das hauptsächliche Ziel der Arbeit darin, mittels der Inversen Streutransformation ALLE Ein- und Zwei-Solitonenlösungen der KdV-Gleichung zu berechnen. In Eigenleistung und mit persönlichem Einsatz wurde hierfür eine allgemeine Lösungsformel ermittelt. Durch direktes Einsetzen der Streudaten erhalten wir nun alle gesuchten Ein- und insbesondere Zwei-Solitonenlösungen. Darauf aufbauend wurde als weiteres ambitioniertes Vorhaben der Interaktionszeitpunkt ALLER Zwei-Solitonenlösungen berechnet. Abschließend wurde die allgemeine asymptotische N-Solitonenlösung dargelegt und die Frage untersucht, ob mittels IST alle Solitonenlösungen der KdV-Gleichung erreicht werden.Item Open Access A sieve formula for chains of p-subgroups : extending Wielandt’s proof of Sylow-Frobenius to a congruence modulo p^(ℓ+1)(2024) Schwesig, EliasGiven a finite group G and a prime p, we establish the sieve formula, which is a congruence containing as summands numbers of chains of p-subgroups of G of certain orders. This generalises the Theorem of Sylow-Frobenius. Its name stems from the sieve formula from set theory because of formal similarities.Item Open Access Topology optimization of metalization grid patterns to improve the Power conversion efficiency of thin-film solar cells(2021) Braun, BenediktDer metallische Leiter, welcher in Form eines Gitters auf der Oberfläche einer Solarzelle angebracht ist, heißt Grid. Die Funktion dieses Grids ist es, den in der Absorberschicht einer Solarzelle erzeugten Strom, ohne große Verluste, an der Oberfläche zum externen Abgreifpunkt zu leiten. Durch die sehr gute Leitfähigkeit des Grids wird ein verlustarmer Ladungstransport ermöglicht. Allerdings bewirkt das für Lichtstrahlen undurchdringbare Grid eine Abschattung der Absoberschicht und verhindert, dass an dieser Stelle Strom erzeugt werden kann. Wenn kein Grid angebracht ist, fließt die Ladung durch die oberste Schicht einer Solarzelle. Diese besteht aus transparenten leitfähigen Oxiden (engl. transparent conducting oxides (TCO)). Das TCO lässt Lichtstrahlen durch und dadurch kann Strom erzeugt werden. Obwohl die Schicht den Strom leiten kann, besitzt sie denoch einen sehr hohen elektrischen Widerstand. Das bedeutet, eine geeignete Wahl des Gridmusters verschattet möglichst wenig Fläche der Solarzelle und bietet trotzdem einen flächendeckenden, verlustarmen Ladungsabtransport. Ein Gridmuster, welches beide Anforderungen bestens erfüllt, soll in dieser Bachelorarbeit mithilfe von Topologie-Optimierung gefunden werden. Topologie-Optimierung ist eine mathematische Optimierungsmethode, mit der, innerhalb eines Gebietes, eine optimale Materialverteilung gefunden werden kann, um eine hohe, strukturbedingte Leistung zu erzielen. Im Zuge dieser Arbeit ist dieses Gebiet die Oberfläche einer Solarzelle und das Material, welches auf der Oberfläche verteilt werden soll, ist das Metall, welches das Gridmuster bildet. Die Leistung einer Solarzelle wird mit dem Wirkungsgrad angegeben. Der Wirkungsgrad ist die Effizienz, mit der die Solarenergie in elektrische Energie umgewandelt werden kann. Zur Berechnung des Wirkungsgrades wird das Gebiet mit einem Voronoi-Diagramm in Simplizes unterteilt. Basierend auf der Poisson-Gleichung für elektrische Leitfähigkeit, kann die Ladung, die durch ein Simplex fließt, mit einer Finite-Elemente-Methode berechnet werden. Aus den einzelnen generierten Strömen lässt sich ein Gesamtstrom berechnen, mit welchem die erzeugte, elektrische Energie berechnet werden kann. Der einzige Parameter, welcher zur Berechnung der Effizienz einer Solarzelle benötigt und in dieser Arbeit variiert wird, ist das Gridmuster. Die Komponenten des Dichtevektors geben dabei die Metalldichte eines jeden Simplexes an. Zur Optimierung dieses Dichtevektors werden in dieser Arbeit Optimierungsverfahren verglichen, die in Richtung des steilsten Abstiegs optimieren. Mit einem dieser Ver- fahren werden weitere Modifizierungen des Dichtevektors getestet. Eine der Modifizierungen betrifft dabei die Umgebung des externen Abgreifpunktes. Die aufgebrachte Gridfläche muss an dieser Stelle groß genug sein, damit ein externer Kontakt ohne Probleme angebracht werden kann. Die nächste Modifizierung, die verwendet wird, ist eine Methode zur lokalen Optimierung. Dabei werden die durch die Diskretisierung entstandenen Simplizes zufällig in mehrere lokalen Teilgebiete eingeteilt und der Reihe nach optimiert. Besitzt eine Komponente des Dichtevektors einen Wert von 0 steht dies für kein Grid, während ein Wert von 1 für das vorhanden sein von Grid steht. Die Komponenten des Dichtevektors repräsentieren dabei jeweils ein Simplex und damit eine Teilfläche der Solarzelle. Eine Modifizierung ermöglicht außer den Werten 0 (kein Grid, schlecht leitend, Strom wird erzeugt) und 1 (Grid, gut leitend, kein Strom wird erzeugt) Zwischenwerte. Mit diesen Zwischenwerten kann eine kontinuierliche Optimierung durchgeführt werden. Die Leitfähigkeit bzw. die Möglichkeit Strom zu generieren, wird dabei für Zwischenwerte interpoliert. Je nach Wahl der Interpolationsfunktion, kann der Wert der Leitfähigkeit für Zwischenwerte gut oder schlecht sein. Ebenso für die Menge an generiertem Strom. Sowohl niedrige als auch hohe Werte kommen mit Vorteilen, weshalb eine geschickte Kombination zu einem verbesserten Optimierungsverhalten führen kann. Die letzte Modifizierung, die eine Rolle spielt, ist das Gridmuster, von welchem ausgehend optimiert wird. Dabei wird, unter anderem, das im Labor vom Zentrum für Sonnenenergie- und Wasserstoffforschung Baden-Württemberg (ZSW) verwendete Gridmuster optimiert. Das Ziel dieser Arbeit ist es, mit den kombinierten Methoden und den Ergebnissen der damit durchgeführten Optimierungen ein neues Gridmuster zu konstruieren, welches dem bisher verwendeten Gridmuster überlegen ist.Item Open Access On twisted group rings and Galois-stable ideals(2015) Krauß, NoraLet A be a Dedekind domain with perfect field of fractions K, and let B be the integral closure of A in a finite Galois extension L of K, with Galois group G := Gal(L|K). We describe the twisted group ring B~G by means of a Wedderburn-embedding. We give a description of the image of B~G in A^(n×n) via congruences of matrix entries for an extension of the form Q(√d)|Q with d being a nonzero squarefree integer, in case of a cyclotomic field Q(ζ_p)|Q with p ∈ Z_>0 prime, and for the extensions Q(ζ_9)|Q and Q(2^{1/3}, ζ_3)|Q. By means of this description we show in examples that there are non-zero ideals in B~G that are not of the form b(B~G) for some Galois-stable ideal b ⊆ B. In case of A being a finite extension of Z, we obtain an explicit formula for the index of the image of B~G in A^(n×n) in terms of the discriminant.Item Open Access Target dependent greedy sampling for Gaussian kernel PDE collocation(2024) Vogel, Max-PaulThis work develops a target-dependent greedy sampling strategy for solving PDEs using Gaussian kernel collocation within the reproducing kernel Hilbert space framework, achieving efficient and mesh-free approximation with exponential convergence rates.