The fast multipole boundary element method and its application to structure acoustic field interaction

Abstract

The goal of the thesis is to provide an efficient simulation tool for the prediction of sound radiation from vibrating structures. Acoustic simulations are an important step to optimize the properties of a new product early in the design phase rather than curing mistakes afterwards. The boundary element method (BEM) is widely used in acoustics, since it allows the simulation of fields in unbounded domains. Only the surface of the sound radiating structure must be discretized with a very low cost for mesh generation and preprocessing. The limiting factor for the application of the BEM to large-scale simulations is its fully populated system matrix. It implies that computing time and memory requirements increase quadratically with the number of elements which cannot be handled even for moderately sized problems. The fast multipole BEM allows the computation of the BEM matrix-vector products at a quasi-linear numerical cost. The reduction is achieved by multilevel clustering of the boundary elements and the use of the multipole series expansion for the evaluation of the fundamental solution. In combination with an efficient iterative solver, multipole BEM simulations can be performed on large models consisting of more than 100,000 boundary elements. The generalized minimal residual method (GMRES) and multigrid solvers are most suitable for the solution of the BEM systems of equations. An approximate inverse preconditioner is developed for both approaches that restricts the number of required iterations and thus allows efficient multipole BEM simulations on fine discretizations and high frequencies. For the simulation of structure-acoustic field interaction problems, the coupled field equations must be solved. The structure is commonly discretized using finite elements, whereas for the acoustic field the BEM is favorable. A mortar FEM-BEM coupling algorithm is developed that allows the combination of non-conforming meshes. The high flexibility for the choice of discretizations offers a high efficiency, since specialized shape functions and adaptive mesh refinement can be used in the subdomains. The mortar coupling algorithm yields a saddle point problem that is solved using an inexact Uzawa algorithm. The iterative solver enables the use of the multipole BEM and thus coupled simulations on large boundary element models.

Das Ziel der Arbeit ist die Entwicklung eines effizienten Simulationswerkzeugs für die Schallabstrahlung von schwingenden Strukturen. Akustik-Simulationen sind ein wichtiger Schritt zur Optimierung eines neuen Produkts. Die akustischen Eigenschaften können früh vorhergesagt und aufwendige Modifikationen an Prototypen vermieden werden. Die Randelementmethode (BEM) wird häufig für Akustik-Simulationen eingesetzt, da sie die Berechnung von Außenraumproblemen erlaubt. Es muss nur die Oberfläche der schallstrahlenden Struktur diskretisiert werden, was einen sehr geringen Aufwand für die Netzerstellung bedeutet. Die Anwendung der BEM für große Modelle wird jedoch durch die vollbesetzten Systemmatrizen beschränkt, da die Rechenzeit und der Speicheraufwand quadratisch mit der Anzahl der Randelemente ansteigen. Die schnelle Multipol-BEM ermöglicht die Auswertung der Randelement-Matrix-Vektor-Produkte mit einem quasi-linearen Aufwand. Diese Effizienzsteigerung wird durch ein hierarchisches Cluster-Verfahren und die Multipol-Entwicklung der Fundamentallösung erreicht. In Zusammenspiel mit einem iterativen Löser können so BEM-Simulationen mit mehr als 100.000 Elementen durchgeführt werden. Die Generalized Minimal Residual (GMRES) Methode und Mehrgitter-Verfahren sind sehr geeignet für die Lösung der BEM-Gleichungssysteme. Ein Approximate Inverse Vorkonditionierer wird für beide Ansätze entwickelt und reduziert die benötigte Anzahl von Iterationen. Durch die Vorkonditionierung kann die Multipol-BEM effizient für Simulationen bei hohen Frequenzen und auf feinen Diskretisierungen angewendet werden. Für die Simulation von Struktur-Akustik-Interaktionsproblemen müssen die gekoppelten Feldgleichungen gelöst werden. Die Strukturdynamik wird dabei üblicherweise mit der Finiten-Elemente-Methode (FEM) simuliert, wohingegen für das akustische Feld die BEM verwendet wird. Für die BEM-FEM-Kopplung wird ein Mortar-Elemente-Verfahren entwickelt, das die Kopplung von nichtkonformen Diskretisierungen ermöglicht. Durch die hohe Flexibilität wird eine Effizienzsteigerung erreicht, da spezielle Ansatzfunktionen in den Teilgebieten verwendet werden können. Der Mortar-Kopplungsalgorithmus führt auf ein Sattelpunktproblem, das mit einem inexakten Uzawa-Algorithmus gelöst wird. Der iterative Löser erlaubt die Verwendung der schnellen Multipol-BEM und damit die Simulation großer Randelementmodelle.