Ein Beitrag zur Bestimmung der von dreidimensionalen Körperschallquellen abgestrahlten Luftschallleistung mit der direkten Finiten-Elemente-Methode

Abstract

Die Hauptbeurteilungsgröße der Schallemission von Maschinen und technischen Anlagen ist die Schallleistung. Eines der effektivsten und praktikabelsten Verfahren zur Bestimmung der von schwingenden Oberflächen abgestrahlten Luftschallleistung ist die Direkte Finite Elemente Methode (DFEM). Diese Berechnungsmethode ermöglicht aufgrund ihrer Einfachheit sehr kurze Berechnungszeiten bei gleichzeitig sehr geringem Speicherplatzbedarf. Sowohl die Schallstrahler als auch die starre Umgebung werden durch ein Netz von Monopolen ersetzt. Die insgesamt abgestrahlte Schallleistung ergibt sich durch die Summe der Monopol-Einzellleistungen und die Summe der Wechselwirkungsleistungen aller Monopolpaarungen. Da diese Monopole bei der Anwesenheit von Streukörpern nicht mehr in den Vollraum abstrahlen, muss zunächst die Rückwirkung der starren Umgebung auf die Schallleistungsabstrahlung der Monopole durch Modifikationsfaktoren berücksichtigt werden. Die Berechnung dieser Schallleistungsmodifikationsfaktoren dauerte bisher insbesondere bei höheren Frequenzen deutlich länger als die eigentliche Schallleistungsberechnung, da eine frequenz- bzw. abstandsabhängige Subdiskretisierung von Elementen der Umgebung durchgeführt werden musste. Um die Gesamtrechenzeit der DFEM zu senken, wurde eine neue Methode zur Bestimmung der Schallleistungsmodifikationsfaktoren entwickelt, die auf eine Subdiskretisierung verzichtet. Dabei wird jedes Oberflächenelement durch ein Kreisringteil mit gleichem Flächeninhalt ersetzt, so dass anstelle der zeitaufwändigen Summation der Subelemente eine analytische Integration erfolgen kann. Da die Form des Kreisringteils ein Integrationsgebiet darstellt, das an die radialsymmetrischen Abstrahleigenschaften eines Monopols angepasst ist, kann für das Integral eine Stammfunktion angegeben werden, so dass die Berechnung der Modifikationsfaktoren mit einer einfachen Formel durchgeführt werden kann. Die Anwendung dieser Methode, die als Kreissegment-Integration (KSI) bezeichnet wird, ergab verglichen mit der alten Methode eine 10 bis 100mal kürzere Gesamtrechenzeit – je nach Frequenzbereich und Elementanzahl – bei mindestens gleicher Genauigkeit. Verglichen mit der Standard-BEM ist die Standard-DFEM mit KSI jetzt etwa 100mal schneller und benötigt kaum Speicherplatz. Die KSI bot auch die Möglichkeit, sehr große ebene Oberflächenbereiche von starren Körpern mit sehr wenigen Segmenten zu diskretisieren, wodurch zusätzlich Rechenzeit gespart werden konnte. In künftigen Arbeiten ist noch zu untersuchen, inwiefern die Anwendung eines Multigrid-Verfahrens den quadratischen Rechenaufwand der eigentlichen Schallleistungsberechnung weiter senken kann. Durch ihre Einfachheit besitzt die DFEM allerdings nicht die guten Konvergenzeigenschaften der BEM. Die größten systematischen Abweichungen werden von den Wechselwirkungsabständen zwischen den Monopolpaaren verursacht. Es wurde daher auch untersucht, wie die Wechselwirkungsabstände eines Doppelmonopols auf einer starren Kugel zu wählen sind. Dazu wurde zunächst eine exakte Schallleistungslösung für den beliebig schwingenden und beliebig auf einer starren Kugel angeordneten Doppelmonopol hergeleitet. Aus den Einzelleistungs- und Wechselwirkungstermen dieses Kugel-Doppelmonopols wurde – analog zur ebenen Platte bzw. zum Vollraum – eine 3D-DFEM aufgebaut, die die starre Kugel in die Herleitung einbezieht und somit alle an der Kugel auftretenden Beugungseffekte berücksichtigt. Die guten Konvergenzeigenschaften zeigten, dass die Genauigkeit dieser Kugel-DFEM nur noch von der Diskretisierungsdichte abhängt. Der Wechselwirkungsterm der Kugel-DFEM wurde nun mit dem Wechselwirkungsterm der Standard-3D-DFEM verglichen. Die Untersuchungen zeigten zunächst, dass der Wechselwirkungsterm der Standard-3D-DFEM betragsmäßig zu groß ist. Um den exakten Term zu erhalten, muss die Amplitude des DFEM-Terms mit zunehmender Frequenz immer stärker gemindert werden. Die größten Minderungen sind notwendig, wenn sich zwei Monopole auf der Kugel fast gegenüberliegen. Desweiteren ist der Wechselwirkungsabstand zwischen den Monopolen bis zu 20% größer zu wählen als der kürzeste oberflächengeführte Abstand, insbesondere dann, wenn sich zwei Monopole auf der Kugel fast gegenüberliegen und wenn sich die Luftschallwellenlänge in der Größenordnung der Kugelabmessungen befindet. Weiterführende Untersuchungen sollten sich auf die statistische Absicherung der DFEM-Rechengenauigkeit konzentrieren. Das Fernziel sind Modellierungsregeln für allgemein gestaltete Maschinenoberflächen, die bei einer bestimmten Frequenz und einer bestimmten Diskretisierungsdichte eine für die Praxis ausreichende Genauigkeit garantieren. Die Angabe der Genauigkeitsgrenzen kann in Form von statistischen Grenzen erfolgen, wie sie bei der internationalen Standardisierung von Messverfahren üblich sind, wo z.B. mit 95% Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Genauigkeit garantiert wird.

The main sound emission quantity of interest for machines and technical equipment is the sound power. One of the most effective and feasible methods for calculating the sound power radiated by vibrating surfaces is the Direct Finite Element Method (DFEM). Due to its simplicity, this calculation method allows for a very fast calculation with a very small amount of memory. The vibrating surface is replaced by a net of elements, where every element is represented by a monopole placed in the element center. The total radiated sound power is determined by the sum of the single sound powers individually generated by all single monopoles and additionally by the sum of the interaction sound powers generated by the combination of all monopole pairs. These monopoles primarily radiate into free space. Because the presence of scattering objects has an influence on the radiation properties of a monopole, the sound power of each monopole must be modified by a modification factor. Until now the calculation of these modification factors has taken much more time then the actual sound power calculation, especially at higher frequencies, because a frequency and distance dependent subdiscretization of the environmental elements had to be made. A new methodology for determining the modification factors has been developed which outperforms the classical subdiscretization method in terms of calculation time. According to this method, each surface element is replaced by a segment in the form of an annulus section, so that an analytic integration can be carried out. For this integral, a simple antiderivative exists, so that the calculation of the modification factors may be performed using a simple formula instead of the time-consuming subdiscretization. The analytical and practical examples showed that the application of the new methodology led to a total calculation time that is about 10 to 100 times smaller than the old calculation methodology - depending on the frequency range and the total number of elements - but with the same accuracy. Compared with the standard boundary element method (BEM), the standard DFEM now calculates the sound power circa 100 times faster and needs a much smaller memory size. The presented methodology also offers the possibility to discretize very large plane surfaces on rigid bodies with very few segments, which additionally reduces calculation time. Future investigations will determine whether the implementation of a multigrid-method for the actual sound power calculation can reduce the quadratic numerical costs of the standard DFEM. However, due to its simplicity and the approximation of physical effects, the DFEM cannot achieve the good accuracy and convergence properties of the BEM. The largest systematic deviations are caused by the interaction distances between the monopole pairs. Thus the influence of the interaction distance of a double monopole placed on a rigid sphere is investigated. For this investigation an exact solution is derived for the sound power radiated from a rigid sphere on which a double monopole has been arbitrarily placed. Based on the single and the interaction sound powers from this double monopole, a 3-dimensional DFEM was constructed which models all diffraction effects on the sphere. Convergence studies show that the accuracy of this sphere-DFEM is solely dependent on the discretization density. The exact interaction term obtained using the sphere-DFEM is then compared to that computed using the standard DFEM. The investigations showed that the amplitude of the standard DFEM interaction term has to be reduced with growing frequency to yield the exact interaction term. The largest reductions have to be made when the two monopoles are situated nearly on opposite sides of the sphere. Additionally the interaction distances between the monopoles have to be chosen up to 20 % larger than the shortest distance along the sphere surface, especially when the two monopoles are nearly on opposite sides of the sphere and when the wavelength is on the order of the sphere dimensions. Future investigations will concentrate on the statistical characterization of the DFEM accuracy. The long-term objective is the formulation of modeling rules for arbitrarily shaped machines, which guarantee a certain maximum deviation in a certain frequency range for a certain discretization density. The accuracy limits could be given in form of statistical limits according to the limits used for the international standardization of measurement methods, where for example a certain accuracy is guaranteed with a probability of 95 %.