Advancing Front Gittergenerierung und a priori Fehlerabschätzungen für elliptische Randwertprobleme mit Singularitäten

Abstract

Ziel der Arbeit ist die Darstellung eines neu entwickelten Advancing Front Gittergenerators für ebene zweidimensionale komplexe Gebiete mit vielen inneren Rändern und punktweise a priori Fehlerabschätzungen von Lösungen und deren Gradienten von elliptischen Randwertproblemen mit potenzabhängigen Singularitäten. Zur Lösung der elliptischen Randwertprobleme wird die Methode der finiten Elemente mit linearen Lagrange-Elementen verwendet. Die Leistungsfähigkeit des Gittergenerator ist in der speziellen Form der hierarchisch aufgebauten Datenstruktur verankert. Mit dem Gittergenerator können geometrische Gitter erzeugt werden, die wiederum zur Untersuchung von elliptschen Randwertproblemen mit potenzabhängigen Singularitäten verwendet werden. Durch eine neue Darstellung des relativen Fehlers können in 3 Theoremen punktweise, d.h. für jedes Element, quasi-optimale a priori Fehlerabschätzungen in L2 und L-unendlich bewiesen werden. Numerische Experimente zeigen, dass die Konvergenzordnungen der relativen Fehler optimal sind und die Konstanten in den Abschätzungen vernünftig klein sind.

This work contains the description of a new advancing front grid generator, created for plain twodimensional complex domains with lots of inner holes. Furthermore pointwise a priore error estimations of solutions and correspondending gradients of elliptic boundary value problems with power singularities are presented. The solutions of the elliptic boundary value problems is based on the finite element method with linear Lagrange finite elements. The efficiency of the grid generator lies in the special form of the hierarchical data structure. The grid generator ist used to construct geometric grids, which are used to investigate elliptic boundary values problems with power singularities. Due to a new representation of the relative error in three theorems pointwise, i.e. on each element, quasi-optimal a priore error estimations in L2 and L-infinity are proved. Numerical experiments demonstrate, that the convergence order of the relativ errors are optimal and that the constants in the estimates are in reasonable ranges.