Polydisperse granular packings and bearings

Abstract

In this thesis we developed an algorithm for constructing three dimensional self-similar space-filling packings of spheres. Among the constructed configurations is the classical three dimensional Apollonian packing which was the only previously-known configuration. The difference between the calculated fractal dimensions indicates the topological difference between these configurations.

Among the obtained packings there is one for which only two colors are necessary for coloring the spheres such that no two spheres having the same color touch each other. This is equivalent to saying that the packing consists of only even loops of touching spheres. In two dimensions this is the necessary and sufficient condition for a packing to act like a bearing. In three dimensions, however, it is not obvious that this is the case, since the particles have more rotational degrees of freedom. We showed that having only even loops is the necessary and sufficient condition for a packing to act like a bearing in three dimensions as well. We have given an explicit expression for the angular velocity of every sphere of the entire packing, in terms of the angular velocity of an arbitrarilily chosen sphere, and a factor $c\geq 0$.

Dichte, Großenverteilung der Teilchen, sowie die Topologie und Kontaktnetzwerke gehören zu den wichtigsten Eigenschaften granularer Materialen. Zur Herstellung von Hochleistungszementen werden Mischungen aus Teilchen unterschiedlicher Größe benötigt, um höhere Dichten zu erzeugen. Die raumfüllenden Lager, die wir in Kapitel 4 beschreiben, sind alle Beispiele für Systeme mit einer Dichte von 1, d.h. jede Konfiguration beschreibt eine Größenverteilung kugelförmiger Teilchen mit denen das Volumen auf mindestens eine Weise vollständig gefüllt werden kann. Hierdurch entfällt jegliche obere theoretische Grenze für die Größenverteilung. Für die Herstellung selbst ähnlicher raumfüllender Packungen in zwei und drei Dimensionen haben wir einen Algorithmus auf Basis konformer Packungen entwickelt. Mit diesem Algorithmus und einigen Erweiterungen wurden verschiedene bisher unbekannte Kugelpackungen erzeugt. Diese Packungen haben unterschiedliche Topologien, da sie verschiedene fraktale Dimensionen aufweisen. Durch definierte Einfärbung bestimmter Teilchen werden die Unterschiede der Packungen noch offensichtlicher. Unter den dreidimensionalen Packungen gibt es eine, bei der man die einzelnen Teilchen mit nur zwei Farben so markieren kann, dass sich niemals zwei Kugeln mit der selben Farbe berühren. Wir nennen solche Konfigurationen bichromatisch. Die Bichromatik ist eine grundlegende Eigenschaft, da sie es ermöglicht, ein dreidimensionales, volumenfüllendes Kugellager zu bauen in dem die Kugeln rotieren können, ohne dass sie blockieren. Wir haben die Existenz des dreidimensionalen volumenfüllenden Kugellagers durch die Darstellung der genauen Konstruktion bewiesen. Wir zeigen, dass in zwei und in drei Dimensionen die Bichromatik der Packung eine notwendige und hinreichende Bedingung ist. Außerdem geben wir eine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit jeder Kugel in der Packung, die nur von !1 und einem Faktor c abhängen. Somit können wir das Modell, dass das Gleiten tektonischer Platten durch Rollen einzelner Teilchen beschreibt, untermauern. Dieses Ergebnis ist auch für die Mechanik und Hydrodynamik von Interesse.