Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-4827
Authors: Dörfner, Tanja
Title: Partielle Lineationen stabiler Ebenen
Other Titles: Partial lineations of stable planes
Issue Date: 2007
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
URI: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-34211
http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/4844
http://dx.doi.org/10.18419/opus-4827
Abstract: Eine stabile lp-Ebene ist eine topologische Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmter Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der die Punktmenge lokalkompakt und von positiver endlicher topologischer Dimension ist, sowie das Stabilitätsaxiom gilt: Die Menge der Paare schneidender Geraden ist offen in der Menge aller Paare von Geraden. Für stabile lp-Ebenen P, P' ist eine partielle Lineation ein Homöomorphismus zwischen offenen Unterebenen von P und P', welcher Geraden in Geraden abbildet. Inspiriert von der kompakt-offenen Topologie definieren wir auf der Menge aller partiellen Lineationen von P auf P' eine Topologie T derart, dass die Spurtopologie auf der Endomorphismen-Halbgruppe die kompakt-offene Topologie ist. Die Topologie T ist nicht hausdorffsch, aber wir beweisen, dass sie lokalkompakt ist, wenn die Punktmengen der Ebenen P und P' Mannigfaltigkeiten sind. Unter der Voraussetzung, dass der Punktraum eine Mannigfaltigkeit ist, erhalten wir die Lokalkompaktheit der Endomorphismen-Halbgruppe einer stabilen lp-Ebene versehen mit der kompakt-offenen Topologie. Desweiteren untersuchen wir partielle Lineationen stabiler Dreiecke, das sind verallgemeinerte stabile Ebenen, und beweisen eine Verallgemeinerung des lokalen Fundamentalsatzes von Löwen: Jede partielle Lineation eines graphenzusammenhängenden stabilen Unterdreiecks einer projektiven Ebenen über einer der Divisions-Algeberen, welche über den Cayley-Dickson-Prozess konstruiert werden (also den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaterionen oder den Okterionen), lässt sich zu einem Automorphismus dieser Ebene fortsetzen. Neben anderen Beispielen untersuchen wir die Menge der partiellen Lineationen der Pickert-Moulton-Ebene. Wir zeigen, dass jede bijektive Lineation zwischen zwei Pickert-Moulton-Ebenen stetig ist. Außerdem bestimmen wir die Automorphismen-Gruppe einer Pickert-Moulton-Ebene und deren Struktur: Die Automorphismen-Gruppe der Pickert-Moulton-Ebene über dem Körper F mit dem Knickfaktor k ist das semidirekte Produkt einer Gruppe, deren Elemente auf der Pickert-Moulton-Ebene lokal wie Elemente der Automorphismen-Gruppe der projektiven Ebene über dem Körper F wirken, und einer Gruppe, die isomorph ist zur Gruppe derjenigen ordnungserhaltenden Körperautomorphismen des Körpers F, welche den Knickfaktor k fixieren.
A stable lp-plane is a topological linear space whose point space is locally compact and of finite and positive (topological) dimension and the domain of intersection is open in the set of pairs of lines. For stable lp-planes P, P' we study partial lineations. These are homeomorphisms between open subplanes of P and P', respectively, that preserve collinearity. Inspired by the compact-open topology we define a topology T on the set of all partial lineations between P and P'. The topology T is not Hausdorff, but we prove that it is locally compact if the point spaces of P and P' are manifolds. This entails the following: if the point space of a stable lp-plane is a manifold then the semigroup of endomorphisms is locally compact. Furthermore we study a generalization of stable planes: stable triangles. We prove that every continuous and injective lineation of an open subtriangle of a classical projective plane over any one of the division algebras with can be constructed by the Cayley-Dickson process (the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions) can be extended to an automorphism of the projective plane. This is a generalization of L"owen's local fundamental theorem. One example we study is the Pickert-Moulton plane. We show that every injective lineation between two Pickert-Moulton planes is continuous. Analysing the structure of the automorphism group of a Pickert-Moulton plane yields the following result: Let Mk(F) be the Pickert-Moulton-Plane over the field F, and let k be the factor of the kinked lines of Mk(F). Then the automorphism group of Mk(F) is a semidirect product of a group whose elements locally act on the Pickert-Moulton plane like elements of the automorphism group of the projective plane over the field F and a group which is isomorphic to the group of those order-preserving field automorphisms of F that fix k.
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