Elastische Kapseln im hydrodynamischen Fluss

Abstract

In dieser Arbeit werden elastische Kapseln untersucht, die eine wichtige Klasse weicher Objekte darstellen. Eine elastische Kapsel besteht aus einer dünnen geschlossenen Membran, die eine Flüssigkeit umschließt. Zusätzlich zum Widerstand gegen Biegungen und Flächenänderungen besitzt die Membran einer Kapsel im wesentlichen Unterschied zu fluiden Vesikeln eine endliche Scherelastizität. Ziel dieser Arbeit war es, das Verhalten einer einzelnen elastischen Kapsel in linearen hydrodynamischen Flüssen theoretisch zu untersuchen. Die Kapsel besitzt dabei stets eine ellipsoidale Referenzform. Die Kapsel wird in einen äußeren viskosen Fluss eingebettet. Die Viskosität der äußeren Flüssigkeit kann sich von der Viskosität der inneren Flüssigkeit unterscheiden. Ihr Verhältnis definiert den Viskositätskontrast. In allen typischen Experimenten sind die Längenskalen derart klein, dass die Dissipation über die Trägheit dominiert und die Flüsse durch die Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Bei einer Kapsel im Fluss handelt es sich aus theoretischer Sicht um ein herausforderndes nicht-lineares Problem, weil Position und Deformation der Membran nicht a priori bekannt sind, sondern sich aus einem Wechselspiel zwischen hydrodynamischen Kräften und elastischen Membrankräften ergeben. Deshalb erfordert das Lösen der vollständigen Bewegungsgleichungen numerische Methoden, während eine analytische Behandlung nur in Grenzfällen möglich ist. Das vollständige Problem lässt sich vereinfachen, indem die Dynamik der Kapsel auf einige wenige relevante Freiheitsgrade eingeschränkt wird. Das Paradebeispiel einer solchen Reduktion findet sich im Keller-Skalak Modell, in dem ein ellipsoidales rotes Blutkörperchen im Scherfluss durch zwei Freiheitsgrade beschrieben werden soll. Die ellipsoidale Membranform wird hier als fest vorausgesetzt. Die Orientierung der Kapsel ist durch den Anstellwinkel gegeben, der den Winkel zwischen langer Halbachse und Scherflussrichtung misst. Als zweiter Freiheitsgrad dient ein Phasenwinkel, der die Panzerkettenbewegung der Membran beschreibt. Aus der Forderung von Energie- und Drehimpulserhaltung folgen die beiden Bewegungsgleichungen für den Anstell- und den Phasenwinkel. Um die elastische Rückstellkraft zu berücksichtigen, wurde das Keller-Skalak Modell zum reduzierten Kapselmodell erweitert. Das Phasendiagramm zeigt drei verschiedene Bereiche, in denen die Kapsel entweder taumelt, schwingt oder eine intermittierende Bewegung ausübt. Im quasisphärischen Grenzfall wird eine vollständige analytische Lösung der Bewegungsgleichungen des reduzierten Modells vorgestellt. Um die Gültigkeit des reduzierten Modells zu überprüfen, werden die vollständigen Bewegungsgleichungen numerisch mit einer speziell entwickelten Spektralmethode integriert. Ein Phasendiagramm konnte für einen großen Bereich der Scherrate und des Viskositätskontrasts bestimmt werden. Qualitativ und was die Größenordnung angeht auch quantitativ bestätigen sich die Ergebnisse des reduzierten Modells innerhalb des Schwing- und des Taumelbereichs. Ein anderes Verhalten ergibt sich jedoch im Intermittenzbereich, wo sich innerhalb der Spektralmethode ein transientes Verhalten zeigt, bei dem die Kapsel von einer anfänglichen Taumelbewegung in eine stabile Schwingbewegung relaxiert. Um das Intermittenzproblem zu lösen, wird in dieser Arbeit ein systematischer störungstheoretischer Zugang gewählt. Für eine quasisphärische Referenzmembran wird der Grenzfall kleiner Deformationen betrachtet, bei dem eine Entwicklung um eine Kugel möglich wird. Die Zahl der Freiheitsgrade reduziert sich auf die beiden Winkel, Anstellwinkel und Phasenwinkel, sowie auf einen Formparameter, der angibt, wie sehr die Kapsel innerhalb der Scherebene gestreckt ist. Numerische Integration der approximativen Bewegungsgleichungen liefert im Schwing– und Taumelbereich ein analoges Phasendiagramm wie beim reduzierten Modell. Im Intermittenzbereich jedoch ergibt sich ein eindeutig transientes Verhalten. Nach einer Relaxation der Form werden die anfänglichen Taumelbewegungen durch stabile Schwingbewegungen abgelöst. Die numerische Phänomenologie kann im Grenzfall starker Flüsse durch analytische Ergebnisse untermauert werden. Das Intermittenzrätsel löst sich zu Gunsten einer transienten Schwingbewegung. Die Dynamik einer ellipsoidalen Kapsel im linearen Fluss wurde durch numerische und analytische Betrachtungen innerhalb dieser Arbeit vollständig bestimmt und verstanden. Die entscheidenden Freiheitsgrade, die sich aus Form und Orientierung der Kapsel sowie der Panzerkettenbewegung ihrer Membran zusammensetzen, konnten samt ihrer gegenseitigen Einflussnahme identifiziert werden.

Elastic capsules constitute an important class of soft objects. Elastic capsules consist of a thin closed membrane surrounding an inner fluid. Additional to its resistance against bending and stretching and in contrast to fluid vesicles, the membrane of a capsule exhibits finite shear elasticity. The main objective of this thesis is to investigate the dynamics of a single elastic capsule in linear flow, where the undeformed shape typically is ellipsoidal. The capsule is embedded in an infinite external flow in the absence of walls. The viscosity of the outer fluid can differ from the viscosity of the inner fluid, thereby defining the viscosity contrast as an important quantity. In typical experiments, the length scales are small enough for dissipation to be dominant over inertial effects. Thus, the inner and outer flow can be described by the linear Stokes equations. The dynamics of a capsule in shear flow is challenging from a theoretical perspective since the shape of the capsule is not given a priori but determined from a balance of hydrodynamic and elastic forces. Since analytical solutions are only possible in certain limit cases numerical methods have to be used to solve the full equations of motion. In the case of small deformations from the sphere, a quasi-spherical expansion can be performed. Alternatively, the full problem can be simplified by reduction to just a few relevant degrees of freedom. The Keller-Skalak model follows the second strategy. Here, a RBC in a linear shear flow is artificially fixed to an ellipsoidal shape and the degrees of freedom are reduced to two angles. The orientation of the capsule is given by the inclination angle which measures the angle between the direction of the long axis and the direction of the shear flow. The second angle, called phase angle, describes the tank-treading motion of the membrane. Finally, the conservation of both energy and torque leads to the equations of motion for inclination and phase angle. To incorporate the shape memory effect into the Keller-Skalak model, the energy stored in the elastic deformations have to be accounted for in the energy balance. The phase diagram of the resulting reduced model shows three different regimes where the capsule either tumbles, swings or performs an intermittent motion. A complete analytical solution can be obtained within the quasi-spherical limit. To check the validity of the reduced model, the spectral method is used to solve for the dynamics of an ellipsoidal capsule in linear shear flow. For a large range of viscosity contrasts and shear rates, a phase diagram could be obtained showing three different dynamical regimes. Comparing with the results of the reduced model, qualitative agreement in the swinging and tumbling regime is observed. However, in the intermittent regime the spectral method clearly shows a transient motion of the capsule. Here, stable swinging motions replace the initial tumbling motions. To solve the intermittency puzzle, a perturbative access is chosen within this thesis. The limit of small deformations from a sphere is examined for a capsule with an ellipsoidal reference shape. The number of degrees of freedom reduces to three: the two angles of the reduced model, and a shape parameter indicating how much the capsule is stretched in and perpendicular to the shear plane. Numerical integration of the equations of motion leads to a phase diagram which is qualitatively consistent with the phase diagram obtained in the reduced model. Again, as in the case of the spectral method, the capsule behaves transient in the intermittent regime. After a relaxation of the shape, initial tumbling motions are replaced by stable swinging motions. These numerical results can be confirmed by analytical computations in the limit of strong flows where different phase transitions are examined separately. The intermittency puzzle can be solved in favour of transient motion. Within this work, the dynamics of an ellipsoidal capsule in linear flow could be completely solved by numerical and analytical treatments. The relevant degrees of freedom have been identified, namely the shape and the orientation of the capsule and the tank-treading motion of the membrane. By clarifying their mutual influence, the dynamics could be reduced to its important aspects and connections.