Decomposing André-Neto supercharacters of Sylow p-subgroups of Lie type D

Abstract

It is well known that the classification of irreducible characters for the group of upper unitriangular n x n-matrices over a finite field with q elements, denoted U_n(q), is a "wild" problem. N. Yan gave an approximation to a solution of this problem in terms of so-called supercharacters. These supercharacters are not necessarily irreducible but they satisfy many strong properties. For example they are pairwise orthogonal and contain every irreducible character as constituent. They can be classified in a pleasant combinatorial way. Methodically N. Yan's results are essentially obtained by investigating biorbits of a group operation, which is a coarser version of Kirillov's orbit method. More precisely, Yan's biorbits form disjoint unions of Kirillov orbits.

Hence N. Yan developed an easily accessible and elementary, but strong, theory for the investigation of U_n(q). This thesis provides a generalization to the Sylow p-subgroups D_n(q) of the orthogonal groups of Lie type D, defined over finite fields of characteristic p. The main result is the construction of a class of combinatorially described modules, the so-called hook-separated staircase modules. These modules are either orthogonal or isomorphic and contain all irreducible modules as constituents. This thesis provides also a generalization in the sense, that many of N. Yan's original results can be obtained as special cases.

The most important step is to generalize N. Yan's construction to abstract groups admitting a 1-cocycle. This generalization does not allow to consider biorbits, but only right orbits (or, if one prefers, left orbits). It is an extension of the original method to a more general class than algebra groups, for which P. Diaconis and I.M. Isaacs established a generalization carrying the full strength of biorbits. This is important, since Sylow p-subgroups of finite orthogonal groups of type D are not algebra groups.

The 1-cocycle approach is used to construct the mentioned hook-separated staircase modules. As a by-product the results provide a new and elementary proof of C.A.M. André's and A.M. Neto's supercharacter theory for D_n(q) and a purely combinatorial and strong decomposition of their supercharacters into characters of hook-separated staircase modules.

Bekanntermaßen ist die Klassifikation der irreduziblen Charaktere für die Gruppe der unitriangulären n x n-Matrizen über einem Körper mit q Elementen, bezeichnet mit U_n(q), ein "wildes" Problem. N. Yan konnte eine Approximation an die Lösung des Problems durch sogenannte Supercharaktere geben. Diese Supercharaktere sind zwar nicht notwendigerweise irreduzibel, haben aber dennoch einige starke Eigenschaften. Zum Beispiel sind sie paarweise orthogonal und enthalten jeden irreduziblen Charakter als Konstituenten. Außerdem lassen sie sich gut kombinatorisch klassifizieren. Methodisch gesehen erzielt N. Yan seine Resultate im Wesentlichen durch die Untersuchung von Biorbits einer Gruppenoperation, die eine gröbere Version von Kirillovs Orbit Methode darstellt. Genauer ausgedrückt bilden Yans Biorbits eine disjunkte Vereinigung von Kirillov Orbits.

Somit hat N. Yan für die Untersuchung von U_n(q) eine einfach zugängliche und elementare, aber dennoch starke Theorie entwickelt. Diese Doktorarbeit bietet eine Verallgemeinerung des Ganzen für p-Sylowuntergruppe D_n(q) von orthogonalen Gruppen des Lie Typs D, die über einem endlichen Körper der Charakteristik p definiert sind. Das Hauptergebnis ist die Konstruktion einer Klasse kombinatorisch beschriebener Moduln, der sogenannten hook-separated staircase Moduln. Diese Moduln sind entweder orthogonal oder isomorph und enthalten jeden irreduziblen Modul als Konstituent. Diese Doktorarbeit stellt auch in dem Sinn eine Verallgemeinerung dar, dass viele von N. Yans ursprünglichen Ergebnissen als Spezialfälle enthalten sind.

Der wichtigste Schritt ist N. Yans Methode zu verallgemeinern für abstrakte Gruppen, die einen 1-Kozykel zulassen. Diese Verallgemeinerung erlaubt jedoch nicht die Betrachtung von Biorbits, sondern nur von Rechtsorbits (oder, so bevorzugt, Linksorbits). Sie stellt eine Erweiterung der ursprünglichen Methode auf eine Klasse von Gruppen dar, allgemeiner als die der Algebra Gruppen, für welche P. Diaconis und I.M. Isaacs eine Verallgemeinerung entwickelten, die die volle Stärke der Biorbits hat. Dies ist wichtig, da p-Sylowuntergruppen endlicher orthogonaler Gruppen vom Lie Typ D keine Algebra Gruppen sind.

Der 1-Kozykel Ansatz wird verwendet, um die erwähnten hook-separated staircase Moduln zu konstruieren. Als Nebenprodukt enthalten die Ergebnisse einen neuen und elementaren Beweis für die Supercharaktertheorie von C.A.M André und A.M. Neto und eine ausschließlich kombinatorische, deutliche Zerlegung ihrer Supercharaktere in Charaktere von hook-separated staircase Moduln.