08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access Representations of Hecke algebras of Weyl groups of type A and B(2001) Lipp, Johannes; Dipper, Richard (Prof. Dr.)The knowledge of the decomposition numbers of Hecke algebras associated to Weyl groups is very useful in the representation theory of finite groups of Lie type since the decomposition matrix of such an algebra embeds into that of the corresponding group. In the investigation of the Hecke algebras themselves, generic constructions - that is, constructions independent of the coefficient ring and the parameters - are a helpful tool. This thesis contributes to those two aspects of the theory of Hecke algebras. The first part of this thesis is concerned with decomposition numbers of blocks of Hecke algebras of type A. In particular, we consider blocks having core (0) and weight 3. First, we derive an upper bound for the decomposition numbers of an arbitrary block. This is used to show that all the decomposition numbers of a block having core (0) and weight 3 are 0 or 1. That result in turn enables us to describe a combinatorial algorithm for their calculation. Furthermore, we show that the decomposition numbers of a block having core (0) and weight 3 depend only on the ordinary and the quantized characteristic of the coefficient field. Moreover, if the ordinary characteristic is neither 2 nor 3 then they are already determined by the quantized characteristic alone. In the second part of this thesis, we construct generic Specht series for Hecke algebras of type A and generic bi-Specht series for Hecke algebras of type B. These are series of right ideals in those algebras such that all subquotients are Specht modules respectively bi-Specht modules. The construction of the Specht series generalizes ideas from Dipper and James for symmetric groups and Hecke algebras of type A. In particular, generic bases for the so-called PK-modules are introduced. The derivation of the bi-Specht series makes use of the Specht series and general methods from Dipper and James for the investigation of Hecke algebras of type B.Item Open Access On unipotent Specht modules of finite general linear groups(2004) Brandt, Marco; Dipper, Richard (Prof. Dr.)Many outstanding problems in representation theory can be solved with a proper understanding of the irreducible unipotent modules for the finite general linear group GL_n(q). For each partition lambda of n there is a Specht module S^lambda for GL_n(q), defined over a field F in terms of the intersection of the kernels of certain homomorphisms. If F is a field of characteristic zero, then S^lambda is irreducible and {S^lambda | lambda is a partition of n} is a complete set of pairwise non-isomorphic irreducible unipotent modules for GL_n(q). If the characteristic of F is coprime to q, then, in general, S^lambda has a unique top composition factor D^lambda and the D^lambda's are the irreducible unipotent modules for GL_n(q). For each Specht module S^lambda, a generating element e_lambda is known but, in general, no explicit basis for S^lambda as a vector space over F has been found. Richard Dipper and Gordon James made significant progress towards the construction of a basis of S^lambda for a two part partition lambda. This thesis is based on their work and further develops and improves the techniques introduced by them. We consider bases of S^lambda which satisfy additional properties. Namely, we define the concept of a standard basis of S^lambda and the concept of a basis with corresponding polynomials of S^lambda. Against the background of these definitions we examine the Specht modules S^lambda for lambda=(n-m,m) and lambda=(2,2,2). In the case of the two part partition lambda=(n-m,m) we find a standard basis of S^lambda if 0 < m < 12 and we conjecture that the techniques used there will work in general for lambda=(n-m,m). For lambda=(2,2,2) we construct a basis with corresponding polynomials of S^lambda.Item Open Access l-groups and Bezout domains(2006) Yang, Yi Chuan; Rump, Wolfgang (Prof. Dr.)Wir untersuchen die Strukturtheorie abelscher l-Gruppen im Hinblick auf ihre Beziehungen zur Teilbarkeit in Bezout-Bereichen und zu MV-Algebren. Hauptmotivation für die Arbeit ist die Jaffard-Ohm-Korrespondenz zwischen abelschen l-Gruppen und Bezout-Bereichen, und D. Mundici's funktorielle Äquivalenz zwischen abelschen l-Gruppen mit starker Einheit und MV-Algebren. Mit Hilfe der Bewertungstheorie erhalten wir eine positive Antwort zum Problem von Conrad und Dauns (1969), ob ein Verbandsschiefkörper mit positiven Quadraten stets angeordnet ist. Als Gegenstück hierzu beweisen wir die Existenz gerichteter Algebren mit negativen Quadraten. Für eine beliebige l-Gruppe verallgemeinern wir die Charakterisierung von o-Idealen in Rieszschen Räumen auf l-Ideale (2004). Mittels der Mundici-Korrespondenz zwischen l-Gruppen und MV-Algebren erhalten wir eine negative Entscheidung einer Frage von Belluce (1986) über Prim-Annihilatoren in MV-Algebren. Für eine abelsche l-Gruppe G konstruieren wir eine dichte Einbettung von G in eine lateral vollständige abelsche l-Gruppe E(G) mittels Garbentheorie. Falls G archimedisch ist, beweisen wir, dass E(G) die laterale Vervollständigung von G ist, während dies im Allgemeinen falsch zu sein scheint. Als Nebenprodukt erhalten wir einen eleganten Beweis des Bernauschen Einbettungssatzes für Archimedische l-Gruppen. Ist G die Teilbarkeitsgruppe eines Bezout-Bereichs D, so zeigen wir, dass Spec(D) zum Spektrum Spec*(G) topologisch dual ist im Sinne von Hochster. Wir studieren die C-Topologie abelscher l-Gruppen mit Blick auf Bezout-Bereiche und MV-Algebren. Dabei korrigieren wir zwei Lemmata von Gusi\'c (1998), was zu einer Verallgemeinerung eines seiner Hauptergebnisse führt. Schliesslich beantworten wir eine Frage von Dumitrescu, Lequain, Mott und Zafrullah (2001), indem wir zeigen, dass die Jaffard-Ohm Korrespondenz für abelsche fast-l-Gruppen nicht gilt.Item Open Access Group rings and twisted group rings for a series of p-groups(2003) Weber, Harald; Roggenkamp, Klaus W. (Prof. Dr. Dr. hc)In this work we regard integral group rings ZG of non abelian p-groups with maximal cyclic subgroup. For this we consider the integral group ring as pullback describing the more complicate structure of ZG by two simpler stuctures: an integral group ring of an abelian group and a twisted group ring connected by some congruences. The Pascal triangle provides a matrix, which enables us to describe the twisted group ring p-adically. With the aid of this we can solve some classical problems: We construct over ordes, compute the cohomology ring and determine the representation type.Item Open Access Beschränkte Lücken zwischen Werten von Normformen(2008) Hablizel, Markus; Brüdern, Jörg (Prof. Dr.)In dieser Arbeit wird die Wertefolge der Normform eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers untersucht. Wir weisen nach, dass in dieser stets unendlich oft beschränkte Lücken vorhanden sind. Dieses Resultat beweisen wir unter Zuhilfenahme einer sehr flexiblen Methode von Goldston, Pintz und Yildirim, die im Grunde auf Selbergs Sieb basiert und von Thorne weiter ausgebaut wurde.Item Open Access Two additive quartic forms(2007) Poehler, Sabine; Brüdern, Jörg (Prof. Dr.)A conjecture of Artin suggests that systems of r forms of degree k with integral coefficients in n variables should have a nontrivial p-adic zero when n>rk^2. In this thesis we prove that pairs of diagonal forms of degree 4 in 49 or more variables have a nontrivial 2-adic zero.Item Open Access On the action of Ariki-Koike algebras on tensor space(2004) Stoll, Friederike; Dipper, Richard (Prof. Dr.)The action of the Ariki-Koike algebra on tensor space is used to show an isomorphism theorem between the Ariki-Koike algebra and a direct sum of matrix rings over tensorproducts of smaller Ariki-Koike algebras. As an application we get Schur-Weyl duality for the action of the Ariki-Koike algebra and the Levi subalgebra of the q-Schur algebra when separation conditions holds.Item Open Access On representations of affine Hecke algebras of type B(2005) Miemietz, Vanessa; Dipper, Richard (Prof. Dr.)For the affine Hecke algebras of type A, Grojnowski has developed a combinatorial labelling of irreducible modules using formal characters and crystal operators, also obtaining certain special branching rules. In this thesis, the same approach is applied to affine Hecke algebras of type B, where it does not lead to full results in all cases. For certain eigenvalues of lattice operators only partial results can be achieved. One main result is the irreducibility of certain modules that are induced from type A to type B, giving a one-to-one corresondance of irreducible objects in certain full subcategories of the module categories in type A and type B. This yields an analogous combinatorial description in type B as in type A, including branching rules.Item Open Access Some contributions to the representation theory of orders over local factorial Krull domains(2003) Simon, Joachim Ulrich; Roggenkamp, Klaus W. (Prof. Dr.)In the first part of this thesis it is shown that every Hasse skewfield can be lifted to a skewfield over the polynomial ring. To prove this the Hasse skewfields are interpreted as cyclic algebras and a criteria for a ring to contain no zero divisors is shown. Every Hasse skewfield contains a uniquely determined maximal order which is interpreted as a cyclic order. The maximal order can be lifted to an order which is contained in the lifts of the skewfields. The lifts are parametrised by certain polynomials. By considering the prime divisors of these polynomials it is decided when a lift of the maximal order is again a maximal order. In particular the localisations of the lifts at the prime ideals of height one of the polynomial ring are discussed. In the maximal case the radical and the quotient after the radical of these localisations is determined. The the specialisations of lifts are considered. These specialisations are either orders in central simple algebras or orders in rings which are isomorphic to truncated twisted polynomial rings. These truncated twisted polynomial rings are local rings; the cohomology ring of the simple module is determined. In the last part maximal orders over arbitrary local factorial Krull domains are studied. Some well-known results from commutative algebra and the theory of orders over Dedekind domains are generalised. Results on maximal divisorial ideals and minimal prime ideals are shown.Item Open Access Contributions to the integral representation theory of Iwahori-Hecke algebras(2002) Soriano Sola, Marcos; Roggenkamp, Klaus W. (Prof. Dr. Dr. h. c.)Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der ganzzahligen Darstellungstheorie der zu endlichen Coxeter Gruppen assoziierten Iwahori-Hecke Algebren. Der einführende erste Teil fasst einige bekannte Ergebnisse und allgemeine Methoden zusammen, die später benötigt werden. Es wird näher auf Ordnungen über kommutativen Noetherschen regulären Ringen der Krull Dimension zwei eingegangen. Der zweite Teil behandelt die Berechnung von Grundringannihilatoren von Erweiterungsgruppen zwischen Gittern für Iwahori-Hecke Algebren. Es wird gezeigt, wie man das Higman Ideal einer Iwahori-Hecke Algebra anhand der Charaktertafel bestimmen kann. Ein wichtiges Ergebnis gibt eine kohomologische Interpretation der bekannten Schur Elemente. Als Anwendung werden Sätze über die Torsionsfreiheit und endliche Erzeugbarkeit über den ganzen Zahlen von gewissen Erweiterungsgruppen von Gittern für Iwahori-Hecke Algebren hergeleitet. Es wird anhand eines Beispiels demonstriert, wie man die Ringstruktur einer Iwahori-Hecke Algebra aus der Kenntnis einer Filtrierung der regulären Darstellung mit einfachen Gittern und gewissen zur Filtrierung assoziierten Annihilatoren herleiten kann. Der dritte und letzte Teil der Arbeit ist kombinatorischer Natur. Es wird gezeigt, daß nach einer geeigneten Lokalisation des Grundrings die Projektion der zu einer endlichen symmetrischen Gruppe assoziierten Iwahori-Hecke Algebra auf die Wedderburn Komponenten, die zu Hakenpartitionen korrespondieren, die Struktur einer Brauerbaum Ordnung hat. Dieses Ergebnis benutzt die explizite Berechnung von gewissen Erweiterungsgruppen in Form von sogenannten modularen Morphismen.