08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access Sketched stable planes(2003) Wich, Anke; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)Standard objects in classical (topological) geometry are the real affine and hyperbolic planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane (endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability. One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes - in fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane. Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes. An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups. Planes of that type can be treated more efficiently studying these groups along with certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been gratifying. Maier in his dissertation gives a classification of all 4-dimensional connected Lie groups which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group Gamma - the semidirect product of the real numbers and the 3-dimensional Heisenberg group - had not been expected, and it hosts an infinite number of stable partitions. Our objective is whether or not the resulting stable planes are embeddable into an already well known plane. Using sketches, it can be proved that none of these planes is embeddable into the classical complex projective plane. As an interesting counterpoint, those planes - hostile as they are towards being embedded into classical planes - do contain an abundance of both, affine and non-affine 2-dimensional classical subplanes. The full automorphism group of such a plane does not contain a certain selection of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble this automorphism group is : either it is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl(2,R). The normaliser Gamma in the full automorphism group turns out to be soluble, after all. On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes so far have been point homogeneous geometries? And indeed, any line homegeneous sketched stable plane is necessarily flag homogeneous.Item Open Access On torsion subgroups and their normalizers in integral group rings(2012) Bächle, Andreas; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)In view of the Zassenhaus conjectures we show that p-subgroups of the normalized units of integral group rings of p-constrained groups are rationally conjugate to subgroups of a group basis, extending a known result. Moreover, we prove that the corresponding statement holds for 2-subgroups, given that the group basis has abelian Sylow 2-subgroups of order at most 8. We provide an affirmative answer for the prime graph question for the groups SL(2, q), q an odd prime power. The 'classical' normalizer problem asks, if a group basis is normalized in the unit group of the integral group ring by products of group elements and central units. After an overview of known results we consider the corresponding question for subgroups of a group basis. We obtain a positive answer for certain isomorphism types of subgroups, comprising e.g. all cyclic groups, and for certain types of normal subgroups. Considering, for a fixed group basis, the question if there is an affirmative answer to the normalizer problem for all its subgroups we provide a positive answer for all locally nilpotent torsion groups and certain metacyclic groups. The last chapter deals with centralizers of subgroups of a group basis in the unit group of an integral group ring. Besides results dealing directly with the centralizers we use the methods of this chapter to prove that the prime graph of the normalizer of an isolated subgroup (of a finite group) in the group and in the normalized unit group of an integral group ring coincide.Item Open Access Sylow numbers in character tables and integral group rings(2017) Köster, Iris; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)Wir untersuchen die Frage, ob die Sylowzahlen durch Charaktertafeln, ganzzahlige Gruppenringe oder Klassenstrukturen vom Typ JHS bestimmt sind. Zunächst geben wir eine Formel für Sylowzahlen von Gruppen mit zwei verschiedenen minimalen Normalteilern an, die sich aus den Sylowzahlen von Quotientengruppen zusammensetzt. Bei Klassenstrukturen vom Typ JHS ist die p-Sylowzahl bestimmt, falls G zyklische p-Sylowgruppen hat, metanilpotent überauflösbar ist. Zusätzlich bestimmen Charaktertafeln die Sylowzahlen, falls G höchstens eine nichtzyklische p-Sylowgruppe hat oder G eine (2-)Frobenius-Gruppe ist. Für ganzzahlige Gruppenringe gilt außerdem, dass q-beschränkte Gruppen die q-Sylowzahl bestimmen. Desweiteren bestimmt ZG die p-Sylowzahl, falls G abelsche p-Sylowgruppen und auflösbaren p'-Kern besitzt. Falls G eine Diedergruppe als 2-Sylowgruppe hat, bestimmt ZG alle Sylowzahlen.Item Open Access Restklassenweise affine Gruppen(2005) Kohl, Stefan; Kimmerle, Wolfgang (Prof.)Diese Arbeit ist ursprünglich motiviert durch die 3n+1 - Vermutung. Diese Vermutung besagt, daß iterierte Anwendung der Collatz-Abbildung T: Z -> Z, n -> (n/2 falls n gerade, (3n+1)/2 falls n ungerade) auf eine positive ganze Zahl nach endlich vielen Schritten zur 1 führt. Die 3n+1 - Vermutung wurde um 1930 von Lothar Collatz aufgestellt und konnte bis heute nicht bewiesen werden - vgl. Lagarias' zugehörige kommentierte Bibliographie, erhältlich unter http://arxiv.org/abs/math.NT/0309224. Die Arbeit versucht nicht, die 3n+1 - Vermutung zu beweisen. Sie untersucht vielmehr die Struktur von Gruppen, die von bijektiven restklassenweise affinen Abbildungen, d.h. von "der Collatz-Abbildung ähnlichen" Permutationen, erzeugt werden. Derartige Gruppen werden in dieser Arbeit nach Kenntnisstand des Autors zum ersten Mal untersucht. Zielsetzung dieser Arbeit ist in erster Linie die Untersuchung der Struktur der Gruppe RCWA(Z) aller restklassenweise affinen Bijektionen des Rings der ganzen Zahlen. Ein Hauptergebnis ist die Konstruktion eines nichttrivialen Normalteilers der Gruppe RCWA(Z). Ferner werden - neben zahlreichen anderen Strukturaussagen zur Gruppe RCWA(Z) selbst und zur Untergruppe der klassenweise ordnungserhaltenden Abbildungen - Reichhaltigkeitsbedingungen an Normalteiler hergeleitet und Einbettbarkeitsresultate für Klassen von Gruppen in RCWA(Z) erzielt. Viele der Resultate werden in allgemeinerem Kontext erzielt für Gruppen RCWA(R) über euklidischen Ringen R. Abgerundet wird die Arbeit von einer ausführlichen Diskussion einer Anzahl von Beispielen. Restklassenweise affine Gruppen, d.h. Untergruppen von RCWA(R), bilden eine Klasse i.a. unendlicher Permutationsgruppen, die rechnerischen Untersuchungen zugänglich sind. Parallel zur Anfertigung dieser Arbeit hat der Autor Algorithmen hierzu entwickelt, und diese in einem Package namens RCWA für das Computeralgebrasystem GAP implementiert. Dieses Package ist erhältlich unter http://www.gap-system.org/Packages/rcwa.html.Item Open Access Über Differenzierbarkeit 2-dimensionaler projektiver Ebenen : am Beispiel von Schiebe- und Schellhammer-Ebenen(2011) Poppitz, Steffen; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)In dieser Arbeit sollen ausgesuchte Familien von (2-dimensionalen) projektiven Ebenen auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Dabei bedeutet "differenzierbar", dass Punktmenge und Geradenmenge der Ebene differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, so dass "Schneiden von Geraden" und "Verbinden von Punkten" differenzierbar ist. Eine jede differenzierbare projektive Ebene ist auch eine topologische Ebene und es gibt viele höchst verschiedene Beispiele topologischer projektiver Ebenen, die bis zu einem gewissen Grad sogar klassifiziert sind. Bei differenzierbaren projektiven Ebenen stellt sich die Situation ganz anders dar: Bis jetzt sind nur sehr wenige Beispiele differenzierbarer projektiver Ebenen bekannt. Abgesehen von den klassischen Beispielen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Oktaven gibt es eine Konstruktion sehr starrer Beispiele von Otte (bei denen es unklar ist, ob sie nichttriviale Automorphismen besitzen) und eine Konstruktion von B. Segre, von der Immervoll gezeigt hat, dass sie differenzierbare projektive Ebenen liefert, welche sogar große Automorphismengruppen aufweisen. Differenzierbare affine (oder allgemeiner stabile) Ebenen sind hingegen leichter zu finden. Im Gegensatz zu topologischen Ebenen, wo der projektive Abschluss einer lokalkompakten, zusammenhängenden affinen Ebene eine kompakte topologische projektive Ebene ist, gibt es differenzierbare affine Ebenen, deren projektiver Abschluss nicht differenzierbar ist. Auf der Suche nach Beispielen differenzierbarer Ebenen bietet es sich an, bekannte topologische Ebenen darauf hin zu untersuchen, ob Punkt- und Geradenmenge eine differenzierbare Struktur zulassen, so dass "Schneiden" und "Verbinden" differenzierbar wird. Kompakte zusammenhängende topologische projektive Ebenen können bezüglich der Dimension und Struktur ihrer Automorphismengruppen klassifiziert werden und in diesem Rahmen lässt sich die Suche nach differenzierbaren Ebenen recht systematisch durchführen. Bödi hat in seiner Habilitationsschrift bewiesen: übersteigt die Dimension der Automorphismengruppe einer Ebene eine gewisse Schranke, so ist die Ebene nur dann differenzierbar, wenn sie isomorph zur entsprechenden klassischen Ebene ist. Es ist naheliegend, die verbleibenden bekannten Klassen und Familien kompakter zusammenhängender topologischer Ebenen auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Da die Beschreibung dieser Familien allerdings sehr allgemein ist -- meist gestützt auf einzelne oder mehrere Funktionen, die relativ schwachen Anforderungen genügen müssen und mit deren Hilfe man die Punktreihen der Geraden beschreibt --, kann die Untersuchung sehr unangenehm werden. In der Regel wird es wohl bei solchen Klassen nötig sein, mit Hilfe geometrischer Operationen und der Wirkung der Automorphismengruppe die differenzierbare Struktur zu konstruieren, die in einer differenzierbaren Ebene notwendigerweise vorliegen muss, um dann Schneiden und Verbinden zu untersuchen. Das eigentliche Konstruieren der differenzierbaren Struktur ist dabei weniger das Problem, sondern die dann konkret anzugebenden Karten und der Umgang mit diesen: Die auftretenden Terme werden zum Teil so unangenehm, dass auch -- oder gerade -- Computeralgebrasysteme keine Hilfe mehr darstellen. Im Fall 2-dimensionaler Ebenen hat Bödi gezeigt, dass differenzierbare projektive Ebenen mit mindestens 3-dimensionaler Automorphismengruppe isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen sind. Da die 2-dimensionalen kompakten zusammenhängenden topologischen projektiven Ebenen mit 2-dimensionaler Automorphismengruppe vollständig klassifiziert sind, soll deshalb mit dieser Arbeit anhand zweier Familien begonnen werden, diese Ebenen systematisch auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. In Kapitel 4 wird eine Familien von Schiebe-Ebenen studiert, die zwar eine differenzierbare affine Teilebene besitzen, im Allgemeinen aber als projektive Ebene nicht differenzierbar sind. In Kapitel 5 werden Schellhammer-Ebenen untersucht. Dort ist es zwar möglich, Ebenen mit differenzierbaren stabilen Teilebenen zu finden, jedoch ist eine affine oder projektive differenzierbare Schellhammer-Ebene, sofern sie gewisse Zusatzvoraussetzungen erfüllt, isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen.Item Open Access Bestimmung von Kompositionsfaktoren endlicher Gruppen aus Burnsideringen und ganzzahligen Gruppenringen(2008) Höfert, Christian; Kimmerle, Wolfgang (Apl. Prof. Dr.)Ausgangspunkt dieser Arbeit ist die Frage, inwieweit die Struktur einer endlichen Gruppe G durch spezielle arithmetische Eigenschaften, wie z.B. Ordnung, Spektrum und Primgraph, festgelegt ist. Dabei liegt das Hauptaugenmerk zunächst auf dem Primgraphen der Gruppe. Aus dieser Betrachtung entwickelt sich dann die Frage, inwieweit der Primgraph der Gruppe dazu verwendet werden kann, algebraische Strukturen zu untersuchen, die aus der Gruppe G abgeleitet werden können. Zwei solcher Strukturen, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind der Burnsidering B(G) der Gruppe G und ihr ganzzahliger Gruppenring ZG. Bei der Untersuchung beider Strukturen spielt der Primgraph von G eine Rolle. Bei Gruppen mit isomorphen Burnsideringen ist bekannt, dass sie identische Primgraphen und Ordnungen besitzen. Im ersten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass aus gewissen zusätzlichen Eigenschaften des gemeinsamen Primgraphs folgt, dass die Kompositionsfaktoren der Gruppen übereinstimmen. Im zweiten Teil der Arbeit wird der Primgraph von V(ZG), der Gruppe der normierten Einheiten von ZG, betrachtet. Für eine Klasse von Gruppen wird gezeigt, dass der Primgraph von V(ZG) mit dem von G übereinstimmt. Abschließend werden endliche Untergruppen in den Einheitengruppen der ganzzahligen Gruppenringe bestimmter endlicher einfacher Gruppen untersucht. Speziell sind dabei die Gruppen PSL(2,q) von Interesse.Item Open Access Minimal orbits of isotropy actions for the classical root systems with simply-laced Dynkin diagrams(2017) Reiswich, Anton; Kollross, Andreas (Priv.-Doz. Dr.)Wir betrachten die Lage der eindeutigen minimalen Hauptbahn einer Isotropiewirkung eines einfach zusammenhängenden symmetrischen Raumes kompakten Typs mit Wurzelsystem A_n bzw. D_n. Nach einer Identifizierung des Bahnenraumes mit einer verallgemeinerten Weyl-Kammer, geben wir für A_n die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer explizit an. Für D_n geben wir ein Ergebnis an, welches es uns erlaubt die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer aus den Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen, dessen Form wir explizit angeben.Item Open Access Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme(2008) Schneider, Thomas; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur weiteren Erforschung nichtklassischer Geometrien leisten. Hierzu wird ein auf D. Hilbert (1899) bzw. H. Mohrmann (1922) zurückgehendes und von M. Stroppel (1993) systematisch untersuchtes Konstruktionsprinzip zur Realisierung nicht desarguesscher affiner Ebenen verfolgt und erweitert. Ein sogenanntes Stroppel-Mohrmann-Hilbert-Liniensystem (SMH-System) entsteht, indem eine gegebene affine Ebene, deren Punktraum gleich dem der reellen affinen Ebene ist und deren Geraden jeweils homöomorph zur reellen Zahlengeraden sind, im Innern einer streng konvexen, einfach geschlossenen Kurve so modifiziert wird, dass anstelle des ursprünglichen Innengebiets der Kurve eine flach oder räumlich realisierte Inzidenzstruktur "eingeklebt" wird, welche die von Stroppel formulierten Axiome einer streng konvexen Compact Disk (CD) erfüllt. Hilbertsche Liniensysteme sind spezielle SMH-Systeme, bei denen lokal desarguessche CDs in die reelle affine Ebene eingepasst werden. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich solche CDs betrachtet, die sich jeweils vermöge einer stetigen injektiven Lineation in die reelle affine Ebene einbetten lassen und die somit lokal desarguessch sind. Im Falle von CDs etwa, die auf Flächenstücken konstanter Gauß-Krümmung im dreidimensionalen Raum realisiert werden, liefern (lokale) geodätische Abbildungen in die reelle euklidische Ebene derartige Lineationen. Unter den affinen Ebenen, die als Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme entstehen, gibt es desarguessche und nicht desarguessche Vertreterinnen. Als zentrales Resultat der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass ein Hilbertsches Liniensystem genau dann desarguessch ist, wenn die Randkurve der zur Konstruktion des Hilbertsystems eingesetzten CD punktweise projektiv äquivalent zum Bild der Randkurve unter der Lineation ist. Dieses Ergebnis fußt wesentlich auf dem Lokalen Fundamentalsatz von R. Löwen (1982). Zur praktischen Prüfung der projektiven Äquivalenz zweier Kurven werden Techniken aus der Projektiven Differentialgeometrie eingesetzt: zwei parametrisierte ebene Kurven mit gleichem Parameterbereich sind nämlich genau dann projektiv äquivalent, wenn die entsprechenden Koeffizientenfunktionen der (speziellen) Grundgleichungen übereinstimmen, denen ihre (gegebenenfalls geeignet renormierten) projektiven Darstellungen genügen. Mit diesen Methoden wird zunächst die Klasse der Ebenen untersucht, die wie das von Hilbert im Jahre 1899 vorgestellte Beispiel auf (flachen) CDs basieren, deren Randkurven Ellipsen sind. Das Geradensystem einer solchen CD besteht aus Kreisbögen, die durch einen außerhalb der Ellipse gelegenen festen Punkt verlaufen. Dieser Punkt fungiert als Zentrum einer Inversionsabbildung, welche die Einbettung der CD in die reelle affine Ebene induziert. Damit tatsächlich eine streng konvexe CD vorliegt, muss der Punkt so gewählt werden, dass das Bild des von der Ellipse im Innern berandeten Gebiets unter der Inversionsabbildung streng konvex bezüglich des Geradensystems der reellen affinen Ebene ist. In der vorliegenden Arbeit werden mögliche Lagen des Inversionszentrums zum Ellipsenmittelpunkt in Abhängigkeit von den Halbachsen bestimmt. Mithilfe der oben erwähnten Resultate sowie der Methoden aus der Projektiven Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine affine Ebenen der Hilbertschen Bauart die Desargues-Eigenschaft genau dann besitzt, wenn als Randkurve der CD eine rotationssymmetrische Ellipse, d.h. ein Kreis gewählt wird. Zur Konstruktion einer räumlichen Realisierung eines Hilbertschen Liniensystems wird eine spezielle Drehfläche konstanter positiver Gauß-Krümmung, nämlich eine Spindelfläche, mit dem System ihrer Geodätischen herangezogen. Durch eine geeignet parallel zur Drehachse liegende Ebene wird ein Abschnitt der Spindelfläche abgegrenzt, welcher durch eine ebene Schnittkurve berandet wird. Es zeigt sich, dass dieser Spindelflächenabschnitt die Anforderungen erfüllt, die an räumlich realisierte CDs zu stellen sind. Das übliche System der Geraden der Ebene wird im Inneren der Schnittkurve durch das Geodätensystem der CD modifiziert, und auf diese Weise entsteht ein räumlich realisiertes Hilbertsches Liniensystem, welches wir als Spindelflächenebene bezeichnen. Durch computeralgebraisch und numerisch unterstützte Anwendung des oben erwähnten Hauptresultats wird nachgewiesen, dass die betrachtete Spindelflächenebene nicht desarguessch ist, dass sich aber eine desarguessche affine Ebene ergibt, wenn die Spindelfläche in der Konstruktion durch eine Sphäre gleicher Gauß-Krümmung ersetzt wird.Item Open Access Kinematische Schnittmaße bei gegebener Schnittsituation in der Integralgeometrie(2004) Sowada, Robert; Teufel, Eberhard (apl. Prof. Dr.)Anhand eines bekannten Ergebnisses aus der Integralgeometrie als Beispiel soll die Problemstellung erläutert und motiviert werden, die dieser Arbeit zugrunde liegt: Sei C eine feste kompakte berandete d-dimensionale Mannigfaltigkeit (mit zweimal stetig differenzierbarem Rand) im d-dimensionalen euklidischen Raum. Dann ist das Integral über die Euler-Charakteristik des Schnittes von C mit einer Hyperebene -- bezüglich des wie üblich normierten bewegungsinvarianten Maßes auf der Mannigfaltigkeit aller Hyperebenen -- gegeben durch das Oberflächenintegral der (d-2)-ten mittleren Krümmung über den Rand von C. Wird nur eine kompakte Teilmenge aller Hyperebenen betrachtet, die alle C schneidenden Hyperebenen enthält, so gilt somit: Bei geeigneter Normierung ist der Erwartungswert der Euler-Charakteristik des Schnitts einer beliebigen Hyperebene mit C -- bis auf einen konstanten von C unabhängigen Faktor -- durch das Oberflächenintegral gegeben, in das ausschließlich (differential-)geometrische Größen des Randes von C eingehen. Es ist nun nahe liegend zu fragen, wie in dieser Situation eine Formel für die Verteilung aussieht, wie sich also das kinematische Maß derjenigen Hyperebenen ausdrücken lässt, deren Schnitt mit C eine fest vorgegebene Euler-Charakteristik annimmt. Zur letzten Fragestellung lagen bis jetzt jedoch erst relativ wenige Ergebnisse vor, die sich zudem auf den ebenen Fall konzentrieren. So stellte J. J. Sylvester im Jahr 1890 für endlich viele paarweise disjunkte konvexe Mengen das Problem, dass das kinematische Maß derjenigen Geraden bestimmt werden soll, die alle diese Mengen zugleich schneiden bzw. die mindestens eine dieser Mengen schneiden. Für bis zu drei Mengen hat er explizite Formeln in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der Mengen angegeben, für eine größere Anzahl von Mengen ein konstruktives Verfahren zur Gewinnung einer solchen Formel geliefert. Im Jahr 1966 beschäftigte sich R. Sulanke unter anderem mit der Existenz von Netzen aus endlich vielen beschränkten konvexen Kurvenbögen bei vorgegebenem Träger der Verteilung ihrer Schnittpunktanzahl mit Geraden. Für reguläre geschlossene Kurven gab R. V. Ambarcumjan schließlich eine explizite Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Gerade mit der Kurve genau k Schnittpunkte besitzt -- ein vollständiger Beweis ist in der Literatur jedoch nicht vorhanden. Ziel dieser Arbeit ist es nun, für möglichst viele Schnittsituationen die Verteilungen zu bestimmen. Dies geschieht zunächst im Euklidischen -- anschließend im Nichteuklidischen -- für Hyperebenen bzw. Sphären bezüglich Flächen beliebiger Kodimension. Die einzige Forderung, die dabei an die Menge von Hyperebenen bzw. Sphären, deren kinematisches Maß bestimmt werden soll, gestellt wird, wird sein, dass sie von an die gegebene Fläche tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären berandet wird. Dies umfasst somit insbesondere die eingangs betrachtete Situation, dass das Maß derjenigen Hyperebenen bestimmt werden soll, deren Schnitt mit C eine fest vorgebene Euler-Charakteristik besitzt. Es sind jedoch auch weitergehende Situationen abgedeckt, in denen zum Beispiel die Anzahl der Schnittkomponenten oder das Trennen von Zusammenhangskomponenten von Interesse sind. Schließlich wird im Euklidischen auch noch das Maß von Geraden mit entsprechendem Schnittverhalten bezüglich Hyperflächen bestimmt, so dass in den wichtigen Fällen des zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raums das Schneiden affiner Unterräume mit Flächen komplett abgedeckt ist. In die dabei gewonnenen Formeln gehen neben Teilflächen der gegebenen Flächen (bzw. jeweils deren Normalenbündel) zusätzlich noch von mehrfach tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären eingehüllte Flächen ein. Beispielsweise lässt sich in der eingangs betrachteten Situation das Maß derjenigen Hyperebenen, deren Schnitt mit C eine vorgegebene Euler-Charakteristik besitzt, ausdrücken als Summe des Oberflächenintegrals der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen des Randes von C und des Absolutbetrags der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen dieser Hüllflächen (wobei jeweils einige der Teilflächen positiv, die anderen negativ gewichtet werden). Auf der anderen Seite ergeben sich auch Formeln, in die keine Hüllflächen eingehen, diese Formeln sind dann jedoch abhängig von der Wahl eines ausgezeichneten Punktes, bezüglich dessen Stützabstände zu bestimmen sind. Im betrachteten Beispiel wird dann über Teilflächen des Randes von C das Produkt von Gauß-Krümmung und Stützabstand der tangentialen Hyperebene zum Ursprung integriert. Die Aufteilung in die Teilflächen und deren Gewichtung geschieht in beiden Formeln auf genau dieselbe Art und Weise. Der Übergang vom einen in den anderen Typ steht im Zusammenhang mit den Minkowskischen Integralformeln.Item Open Access Cartier-Foata-Garside monoids and groups(2024) Thumm, Alexander; Eisermann, Michael (Prof. Dr.)