08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access Totalkrümmung geschlossener Hyperflächen des euklidischen Raums(2015) Pinzer, BenjaminDiese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage wie sich die Totalkrümmung eingebetteter, geschlossener Hyperflächen im euklidischen Raum bestimmen lässt. Mit Hilfe des Satzes von Gauß-Bonnet-Hopf, der eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Gauß-Bonnet darstellt, wird zunächst die Totalkrümmung unterschiedlich eingebetteter Parallelmengen von k-dimensionalen Sphären berechnet. Da eine geschlossene Hyperfläche den umgebenden Raum in zwei Zusammenhangskomponenten teilt, wird im Weiteren Inneres und Äußeres unterschiedlich eingebetteter Hyperflächen betrachtet. Es zeigt sich, dass für die Eulercharakteristik des Inneren bzw. Äußeren nur bestimmte Werte in Frage kommen. Mit Methoden der algebraischen Topologie wird diese Abhängigkeit untersucht. Die hauptsächlichen Resultate dieser Arbeit sind, dass zu gegebener geschlossener Hyperfläche die möglichen Werte für die Totalkrümmung eingeschränkt werden können, zu beliebig gewählten natürlichen Zahlen Hyperflächen konstruiert und diese dann so eingebettet werden, dass jeder, der zuvor bestimmten Werte für die Totalkrümmung, auch tatsächlich angenommen wird.Item Open Access Finite Elemente Approximation der Plattengleichung mit web-Splines(2002) Streit, AnjaDie Methode der Finiten Elemente zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen entstand Ende der fünfziger Jahre zunächst in der Flugzeugindustrie. Sie wird seitdem in Mathematik und Ingenieurwissenschaften ständig weiterentwickelt und wird heute in vielfältiger Weise für numerische Berechnungen verwendet, beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Das Verfahren beruht auf einer Unterteilung des gegebenen Gebiets in kleinere Elemente und der Verwendung von jeweils polynomialen Ansatzfunktionen auf den einzelnen Elementen. Herkömmliche Methoden erfordern dabei meist eine aufwendige Gittergenerierung und eine hohe Zahl an Freiheitsgraden bei Verwendung von Ansatzfunktionen höherer Ordnung. Diese Probleme entfallen bei einem Ansatz mit web-Splines auf uniformen Gittern, die von K. Höllig, U. Reif und J. Wipper am Mathematischen Institut A entwickelt wurden. Die Erzeugung eines Gitters entfällt durch eine gleichmäßige Unterteilung des Gebiets in Quadrate, außerdem wird pro Ansatzfunktion nur ein Freiheitsgrad benötigt, wodurch die Größe des entstehenden Gleichungssystems verringert wird. Die Gewichtung ermöglicht zusätzlich eine exakte Einhaltung von vorgegebenen Randbedingungen einer Differentialgleichung. Im Rahmen des WEB-Projekts am 2. Lehrstuhl des Mathematischen Instituts A werden verschiedene Aspekte der web-Methode und deren Anwendung in der Elastizitätstheorie untersucht. Ziel dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung von web-Splines als Ansatzfunktionen zur Lösung eines Differentialgleichungsproblems 4. Ordnung, der Plattengleichung, die die Auslenkung einer am Rand fest eingespannten Platte beschreibt. In Kapitel 1 wird zunächst die Differentialgleichung am Beispiel einer Rechteckplatte hergeleitet und die zugehörige Variationsformulierung angegeben. Das zweite Kapitel enthält eine Zusammenstellung der Grundlagen der Finite Elemente Approximation der Lösung der Differentialgleichung in geeigneten endlichdimensionalen Ansatzräumen. Nach der Definition von b-Splines und web-Splines, wird in Kapitel 3 ein solcher, für die Finite Elemente Approximation der Plattengleichung mit web-Splines geeigneter, Ansatzraum angegeben. In Kapitel 4 wird die Stabilität der Approximationslösung bzgl. der web-Basis bewiesen, sowie die Optimalität der Fehlerordnung, die von der Finite Elemente Approximation geliefert wird. Im Rahmen des WEB-Projekts wurde auch ein Programmpaket zur Lösung verschiedener Probleme der Elastizitätstheorie implementiert. Das 5. Kapitel enthält eine kurze Beschreibung der Implementierung der verwendeten Programme. In Kapitel 6 finden sich schließlich numerische Beispiele für die Lösung der Plattengleichung, sowie den Fehlers dieser Lösung. Außerdem werden dort für Beispielgebiete die Konditionen der Galerkinmatrizen des nichterweiterten und des erweiterten Systems miteinander verglichen.Item Open Access Finite Elemente Approximation mit web-Splines in der ebenen linearen Elastizität(2002) Kopf, AndreasBei der numerischen Behandlung von elliptischen Differentialgleichungen wird heute oft die Methode der Finiten Elemente, häufig mit FEM abgekürzt, verwendet. Bisher wurden hier meist Räume stückweiser nodaler Polynome verwendet, die eine Zerlegung des Gebietes in isoparametrische Dreiecke oder Vierecke voraussetzt. Ein neuer Ansatz, der in dieser Arbeit für Probleme der ebenen linearen Elastizität untersucht wird, besteht in der Methode der web-Splines (weighted extended b-splines), die am Mathematischen Institut A entwickelt wurde (siehe auch www.web-splines.de). Hierbei wird über das Gebiet ein regelmäßiges Gitter gelegt, den Ansatzraum bilden multivariate B-Splines, und die Einhaltung der Randbedingungen wird durch eine Gewichtsfunktion gesichert. Die web-Methode hat den Vorteil, dass die meist aufwendige Zerlegung des Gebietes in Dreiecke entfällt und eine Erhöhung des Ansatzgrades mit einer nur geringen Anzahl von neuen Freiheitsgraden verbunden ist. In der Arbeit wird zunächst auf die Theorie der ebenen Elastizität eingegangen, bevor dann die Methode der web-Splines vorgestellt wird. Anschliessend wird auf Themen der Existenz und Eindeutigkeit, der Stabilität sowie der Fehlerabschätzung näher eingegangen. Die gewonnenen Erkenntnisse werden dann anhand einfacher Beispiele verdeutlicht. Zusammenfassend gibt die Diplomarbeit einen Einblick in die Methode der web-Splines und ihrer Anwendungsmöglichkeiten in der ebenen Elastizität.Item Open Access FEM mit web-Spline-Basis : analytische und numerische Behandlung geeigneter Gewichtsfunktionen(2001) Geis, WinfriedDie Diplomarbeit beschäftigt sich mit Eigenschaften wie Glattheit und Ableitung einer mittels eines singulären Integralterms definierten Gewichtsfunktion und ihrer Verwendbarkeit für die web-Methode (weighted extended B-Splines, siehe auch www.web-spline.de). Abschließend wird die Matlab-Implementierung der Gewichtsfunktion für beliebige, mit Bezierkurven berandete Gebiete beschrieben.Item Open Access Mediale Achsen und Voronoj-Diagramme in der euklidischen Ebene(1997) Wipper, JoachimDie mediale Achse wurde 1967 von Harry Blum zur Darstellung und Analyse ebener abgeschlossener Gebiete eingeführt. Sie besteht aus dem Abschluß der Menge aller Mittelpunkte maximaler Kreisscheiben. Eine Kreisscheibe heißt dabei maximal, sofern sie ganz in dem Gebiet enthalten und nicht echte Teilmenge einer ebenfalls in dem zu betrachtenden Gebiet liegenden Kreisscheibe ist. Auf der medialen Achse operiert die Radiusfunktion. Sie ordnet jedem Punkt der medialen Achse den Radius der zugehörigen maximalen Kreisscheibe zu und ermöglicht damit die exakte Rekonstruktion des zugrundeliegenden Gebietes aus der medialen Achse. Die mediale Achse ist lokale Symmetrieachse, dimensionsreduzierend und führt auf einen Graphen, welcher mit Hilfe der metrischen Informationen der Radiusfunktion eine automatisierte Analyse ebener Gebiete mittels graphentheoretischer Konzepte ermöglicht. Die Arbeit faßt zunächst alternative Definitionen, Eigenschaften und Anwendungsgebiete medialer Achsen zusammen. Im Vordergrund steht jedoch die exakte Berechnung beziehungsweise die Approximation medialer Achsen abgeschlossener Gebiete in der euklidischen Ebene. Entscheidendes Hilfsmittel ist hierbei das Voronoj-Diagramm - jene Partition der euklidischen Ebene, die jedem Punkt einer vorgegebenen Menge diejenigen Punkte der euklidischen Ebene zuordnet, deren Abstände zu diesem kleiner als zu allen anderen Punkten der besagten Menge sind. Der Begriff des Voronoj-Diagramms von Punktmengen wird hierzu auf Mengen von Geradensegmenten und Punkten erweitert. Es wird gezeigt, daß die mediale Achse eines polygonalen Gebietes eine einfach zu charakterisierende Teilmenge des verallgemeinerten Voronoj-Diagramms des Randpolygons ist und im Fall konvexer polygonaler Gebiete mit diesem übereinstimmt. Der zweite Teil der Arbeit befaßt sich mit der Approximation medialer Achsen r-regulärer Mengen mit Hilfe des Voronoj-Diagramms einer auf dem Rand verteilten diskreten Punktmenge.Item Open Access R-Funktionen für Finite Elemente Approximationen mit web-Splines(2002) Boßle, MarcoDas web-Verfahren ist ein Finites Elemente Verfahren, das auf B-Splines beruht. Es verwendet web-Splines (weighted extended b-Splines) als Ansatzfunktionen für die Approximation der schwachen Lösung einer Differentialgleichung. Die herausragendsten Vorteile dieses Verfahrens sind die Unabhängigkeit von Triangulierungen, da stets auf einem regelmäßigen Gitter gerechnet wird, und die freie Wahl der Ordnung der Finiten Elemente ohne Mehraufwand. Für die Einhaltung der Randbedingungen werden die Ansatzfunktionen mit einer geeigneten Funktion multipliziert. Diese Funktionen müssen einige Eigenschaften besitzen, die von großer Wichtigkeit für das Verfahren sind. V.L. Rvachev fand bereits in den sechziger Jahren mehrere Familien von Funktionen (R-Funktionen), die über die geforderten Eigenschaften hinaus noch die Fähigkeit besitzen, boolsche Kombinationen von Gebieten auf Gewichtsfunktionen anzuwenden. Die Funktionen erlauben also die automatische, sukzessive Berechnung von Gewichtsfunktionen auf Gebieten, die aus mehreren einfachen Grundgebieten zusammengesetzt wurden. Die vorliegende Arbeit betrachtet diese Funktionsfamilien. Der eine Hauptteil der Arbeit ist die Betrachtung dieser Funktionen und der Beweis von grundlegenden Aussagen über Differenzialeigenschaften und deren Auswirkungen auf das web-Verfahren. Die Funktionen werden im Detail analysiert und miteinander verglichen. Als zugrundeliegende Einheiten, aus denen komplexere Gebiete definiert werden können, dienen in dieser Arbeit Kegelschnitte. Der zweite Hauptteil der Arbeit setzt sich mit der Darstellung und Verwaltung der Ränder von Gebieten auseinander, was speziell für die Integration auf diesem Gebiet zur Lösung von Differenzialgleichungen notwendig ist. Die Ränder werden als rationale quadratische Bezierkurven verwaltet, die bei der Kombination von Gebieten geeignet behandelt werden müssen. Im Laufe dieser Arbeit entstand das Programmpaket QBE, das die Möglichkeit bietet, Gebiete sukzessive aus Kegelschnitten aufzubauen und eine Gewichtsfunktion darauf berechnen zu lassen. Die Arbeit schließt mit einigen Beispielen und der Anleitung zur Handhabung des Programms.Item Open Access Nichtlineare Optimierung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines(1996) Röseler, AlexanderAusgangspunkt dieser Diplomarbeit war das Problem der Erzeugung glatter Freiformflächen beliebiger topologischer Struktur. Denn wenn man zur Lösung dieses Problems Splineflächen über einem bestimmten Parameternetz - wie zum Beispiel dem hier verwendeten Vierecksnetz - verwendet, so erhält man im Allgemeinen so genannte irreguläre Ecken in dem Netz. Im vorliegenden Fall sind das Ecken, an denen nicht die übliche Anzahl von vier Flächenstücken zusammenstoßen. Für das spezielle Problem einer geometrisch glatten Fläche wurden von Reif Bedingungen angegeben, welche die Konstruktion solcher Flächen mit Splines vom Grad zwei (in beiden Parameterrichtungen) - den quadratischen G-Splines - erlauben. Damit lassen sich nun n-seitige Lücken durch geometrisch glatte Flächen schließen. In der Praxis ist dies jedoch oft noch nicht ausreichend. Man möchte vielmehr unter den vielen glatten Flächen, die die Lücke füllen, diejenige aussuchen, welche eine optimale Form besitzt. Diese optimale Form drückt sich mathematisch darin aus, dass die gesuchte Fläche ein bestimmtes Funktional optimiert. Ziel dieser Diplomarbeit war die Entwicklung und Erprobung eines geeigneten, möglichst schnellen und stabilen Verfahrens zur Optimierung. Gewählt wurde dazu ein Verfahren zweiter Ordnung, das auf der Idee des Newtonverfahrens basiert. Es wird zunächst für den einfachsten Fall einer als Funktion darstellbaren Kurve entwickelt. An diesem Fall lassen sich die Auswirkungen der Wahl verschiedener Parameter und Methoden am besten studieren, und das Ergebnis ist ein Verfahren zur Optimierung solcher spezieller Kurven. Genau wie bei den "klassischen" Finiten Elementen erhält man als zu lösende Gleichung schließlich ein großes lineares Gleichungssystem, dessen Größe sich nach der Dimension des verwendeten Raumes für die Diskretisierung richtet, das heißt nach der Anzahl der Basisfunktionen. Je mehr Basisfunktionen man wählt, je feiner man den Raum also macht, desto besser wird die Lösung des Problems darin approximiert. Der nächste Schritt ist die Verallgemeinerung auf parametrisierte Kurven. Dies erfordert einige neue Überlegungen, und das Ergebnis ist ein Verfahren, mit dem sich optimale Kurven zu beliebigen Randvorgaben erzeugen lassen. Außerdem wird das Problem auch theoretisch untersucht und es stellt sich heraus, dass das untersuchte Optimierungsproblem eine lokal eindeutige Lösung besitzt. Schließlich wird das Verfahren auch noch für die Optimierung von Flächen modifiziert, allerdings nur für solche, die sich als Funktion darstellen lassen. Daraus ist ein in C++ geschriebenes Programm entstanden, welches das formoptimierte Füllen von solchen viereckigen Lücken erlaubt, für die sich die Lösungsfläche als Funktion darstellen lässt. Das Programm läuft auch für größere Flächen mit zum Beispiel 500 Kontrollpunkten noch in akzeptabler Zeit und kann auch auf mehreren Rechnern gleichzeitig arbeiten, wodurch die Rechenzeit noch erheblich gesenkt wird. Abschließend wird noch kurz diskutiert, inwieweit sich das Verfahren auch für parametrisierte Flächen eignet, mit denen sich dann beliebige vierseitige Lücken schließen lassen. Diese bilden schließlich die Grundlage für die Anwendung auf G-Spline-Flächen, mit denen auch n-seitige Lücken gefüllt werden können.Item Open Access Modifikation von Freiformflächen unter Randbedingungen auf der Basis unregelmäßig über den Flächenbereich verteilter Meßpunkte(1995) Hörner, JörgBei der Entwicklung eines Bauteils mit einem CAD-System kommt es häufig zu einer Abfolge von physikalischen und rechnerinternen Modellen, die einander entsprechen müssen. Die Erstellung eines physikalischen Modells aus einem CAD-Modell wird mit Hilfe von NC-Fertigungsverfahren oder mit generativen Fertigungsverfahren (z.B.Stereolithographie) bewerkstelligt. Die Digitalisierung eines physikalischen Modells erfolgt durch die meßtechnische Erfassung von Punktdaten. Diese Punktdaten ermöglichen es dann, neue CAD-Modelle aufzubauen und vorhandene zu modifizieren. Für den Aufbau von Freiformflächen sind Funktionalitäten in CAD-Systemen gegeben, zur Modifikationbieten die CAD-Systeme allerdings bisher nur wenige Möglichkeiten an. In der Diplomarbeit werden Funktionen in das CAD-System CATIA (Version 3) von Dassault Systèmes eingebunden,die eine Flächenmodifikation erlauben. Dabei wird von einem CAD-Flächenmodell und digitalisierten Meßpunktdaten ausgegangen. Mit Hilfe von Bézier-Flächensegmenten wird eine Modifikation des Flächenverbandes ermittelt, die die Meßpunkte approximiert und dabei die Stetigkeiten (bis zur Krümmungsstetigkeit) an den Flächenübergängen erhält. Hierbei werden die Flächenübergänge automatisch erkannt und auch sogenannte 'T-Kreuzungen' behandelt. Der Anwender hat durch verschiedene Parameter (wie z.B. den maximalen Grad der Flächen oder eine einzuhaltende Toleranz) Einfluß auf das Aussehen des modifizierten Flächenverbands. Die Verwendung der Funktionen und die Auswirkungen der Parametereinstellungen sowie die Schwierigkeiten bei der 'richtigen' Auswahl der Parameter (um z.B. ein Überschwingen der Flächen zu vermeiden) werden anhand einiger Beispiele dargelegt.