08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access Sketched stable planes(2003) Wich, Anke; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)Standard objects in classical (topological) geometry are the real affine and hyperbolic planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane (endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability. One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes - in fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane. Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes. An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups. Planes of that type can be treated more efficiently studying these groups along with certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been gratifying. Maier in his dissertation gives a classification of all 4-dimensional connected Lie groups which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group Gamma - the semidirect product of the real numbers and the 3-dimensional Heisenberg group - had not been expected, and it hosts an infinite number of stable partitions. Our objective is whether or not the resulting stable planes are embeddable into an already well known plane. Using sketches, it can be proved that none of these planes is embeddable into the classical complex projective plane. As an interesting counterpoint, those planes - hostile as they are towards being embedded into classical planes - do contain an abundance of both, affine and non-affine 2-dimensional classical subplanes. The full automorphism group of such a plane does not contain a certain selection of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble this automorphism group is : either it is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl(2,R). The normaliser Gamma in the full automorphism group turns out to be soluble, after all. On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes so far have been point homogeneous geometries? And indeed, any line homegeneous sketched stable plane is necessarily flag homogeneous.Item Open Access On torsion subgroups and their normalizers in integral group rings(2012) Bächle, Andreas; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)In view of the Zassenhaus conjectures we show that p-subgroups of the normalized units of integral group rings of p-constrained groups are rationally conjugate to subgroups of a group basis, extending a known result. Moreover, we prove that the corresponding statement holds for 2-subgroups, given that the group basis has abelian Sylow 2-subgroups of order at most 8. We provide an affirmative answer for the prime graph question for the groups SL(2, q), q an odd prime power. The 'classical' normalizer problem asks, if a group basis is normalized in the unit group of the integral group ring by products of group elements and central units. After an overview of known results we consider the corresponding question for subgroups of a group basis. We obtain a positive answer for certain isomorphism types of subgroups, comprising e.g. all cyclic groups, and for certain types of normal subgroups. Considering, for a fixed group basis, the question if there is an affirmative answer to the normalizer problem for all its subgroups we provide a positive answer for all locally nilpotent torsion groups and certain metacyclic groups. The last chapter deals with centralizers of subgroups of a group basis in the unit group of an integral group ring. Besides results dealing directly with the centralizers we use the methods of this chapter to prove that the prime graph of the normalizer of an isolated subgroup (of a finite group) in the group and in the normalized unit group of an integral group ring coincide.Item Open Access Sylow numbers in character tables and integral group rings(2017) Köster, Iris; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)Wir untersuchen die Frage, ob die Sylowzahlen durch Charaktertafeln, ganzzahlige Gruppenringe oder Klassenstrukturen vom Typ JHS bestimmt sind. Zunächst geben wir eine Formel für Sylowzahlen von Gruppen mit zwei verschiedenen minimalen Normalteilern an, die sich aus den Sylowzahlen von Quotientengruppen zusammensetzt. Bei Klassenstrukturen vom Typ JHS ist die p-Sylowzahl bestimmt, falls G zyklische p-Sylowgruppen hat, metanilpotent überauflösbar ist. Zusätzlich bestimmen Charaktertafeln die Sylowzahlen, falls G höchstens eine nichtzyklische p-Sylowgruppe hat oder G eine (2-)Frobenius-Gruppe ist. Für ganzzahlige Gruppenringe gilt außerdem, dass q-beschränkte Gruppen die q-Sylowzahl bestimmen. Desweiteren bestimmt ZG die p-Sylowzahl, falls G abelsche p-Sylowgruppen und auflösbaren p'-Kern besitzt. Falls G eine Diedergruppe als 2-Sylowgruppe hat, bestimmt ZG alle Sylowzahlen.Item Open Access Totalkrümmung geschlossener Hyperflächen des euklidischen Raums(2015) Pinzer, BenjaminDiese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage wie sich die Totalkrümmung eingebetteter, geschlossener Hyperflächen im euklidischen Raum bestimmen lässt. Mit Hilfe des Satzes von Gauß-Bonnet-Hopf, der eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Gauß-Bonnet darstellt, wird zunächst die Totalkrümmung unterschiedlich eingebetteter Parallelmengen von k-dimensionalen Sphären berechnet. Da eine geschlossene Hyperfläche den umgebenden Raum in zwei Zusammenhangskomponenten teilt, wird im Weiteren Inneres und Äußeres unterschiedlich eingebetteter Hyperflächen betrachtet. Es zeigt sich, dass für die Eulercharakteristik des Inneren bzw. Äußeren nur bestimmte Werte in Frage kommen. Mit Methoden der algebraischen Topologie wird diese Abhängigkeit untersucht. Die hauptsächlichen Resultate dieser Arbeit sind, dass zu gegebener geschlossener Hyperfläche die möglichen Werte für die Totalkrümmung eingeschränkt werden können, zu beliebig gewählten natürlichen Zahlen Hyperflächen konstruiert und diese dann so eingebettet werden, dass jeder, der zuvor bestimmten Werte für die Totalkrümmung, auch tatsächlich angenommen wird.Item Open Access Stability of compact symmetric spaces(2022) Semmelmann, Uwe; Weingart, GregorIn this article, we study the stability problem for the Einstein-Hilbert functional on compact symmetric spaces following and completing the seminal work of Koiso on the subject. We classify in detail the irreducible representations of simple Lie algebras with Casimir eigenvalue less than the Casimir eigenvalue of the adjoint representation and use this information to prove the stability of the Einstein metrics on both the quaternionic and Cayley projective plane. Moreover, we prove that the Einstein metrics on quaternionic Grassmannians different from projective spaces are unstable.Item Open Access Restklassenweise affine Gruppen(2005) Kohl, Stefan; Kimmerle, Wolfgang (Prof.)Diese Arbeit ist ursprünglich motiviert durch die 3n+1 - Vermutung. Diese Vermutung besagt, daß iterierte Anwendung der Collatz-Abbildung T: Z -> Z, n -> (n/2 falls n gerade, (3n+1)/2 falls n ungerade) auf eine positive ganze Zahl nach endlich vielen Schritten zur 1 führt. Die 3n+1 - Vermutung wurde um 1930 von Lothar Collatz aufgestellt und konnte bis heute nicht bewiesen werden - vgl. Lagarias' zugehörige kommentierte Bibliographie, erhältlich unter http://arxiv.org/abs/math.NT/0309224. Die Arbeit versucht nicht, die 3n+1 - Vermutung zu beweisen. Sie untersucht vielmehr die Struktur von Gruppen, die von bijektiven restklassenweise affinen Abbildungen, d.h. von "der Collatz-Abbildung ähnlichen" Permutationen, erzeugt werden. Derartige Gruppen werden in dieser Arbeit nach Kenntnisstand des Autors zum ersten Mal untersucht. Zielsetzung dieser Arbeit ist in erster Linie die Untersuchung der Struktur der Gruppe RCWA(Z) aller restklassenweise affinen Bijektionen des Rings der ganzen Zahlen. Ein Hauptergebnis ist die Konstruktion eines nichttrivialen Normalteilers der Gruppe RCWA(Z). Ferner werden - neben zahlreichen anderen Strukturaussagen zur Gruppe RCWA(Z) selbst und zur Untergruppe der klassenweise ordnungserhaltenden Abbildungen - Reichhaltigkeitsbedingungen an Normalteiler hergeleitet und Einbettbarkeitsresultate für Klassen von Gruppen in RCWA(Z) erzielt. Viele der Resultate werden in allgemeinerem Kontext erzielt für Gruppen RCWA(R) über euklidischen Ringen R. Abgerundet wird die Arbeit von einer ausführlichen Diskussion einer Anzahl von Beispielen. Restklassenweise affine Gruppen, d.h. Untergruppen von RCWA(R), bilden eine Klasse i.a. unendlicher Permutationsgruppen, die rechnerischen Untersuchungen zugänglich sind. Parallel zur Anfertigung dieser Arbeit hat der Autor Algorithmen hierzu entwickelt, und diese in einem Package namens RCWA für das Computeralgebrasystem GAP implementiert. Dieses Package ist erhältlich unter http://www.gap-system.org/Packages/rcwa.html.Item Open Access Über Differenzierbarkeit 2-dimensionaler projektiver Ebenen : am Beispiel von Schiebe- und Schellhammer-Ebenen(2011) Poppitz, Steffen; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)In dieser Arbeit sollen ausgesuchte Familien von (2-dimensionalen) projektiven Ebenen auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Dabei bedeutet "differenzierbar", dass Punktmenge und Geradenmenge der Ebene differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, so dass "Schneiden von Geraden" und "Verbinden von Punkten" differenzierbar ist. Eine jede differenzierbare projektive Ebene ist auch eine topologische Ebene und es gibt viele höchst verschiedene Beispiele topologischer projektiver Ebenen, die bis zu einem gewissen Grad sogar klassifiziert sind. Bei differenzierbaren projektiven Ebenen stellt sich die Situation ganz anders dar: Bis jetzt sind nur sehr wenige Beispiele differenzierbarer projektiver Ebenen bekannt. Abgesehen von den klassischen Beispielen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Oktaven gibt es eine Konstruktion sehr starrer Beispiele von Otte (bei denen es unklar ist, ob sie nichttriviale Automorphismen besitzen) und eine Konstruktion von B. Segre, von der Immervoll gezeigt hat, dass sie differenzierbare projektive Ebenen liefert, welche sogar große Automorphismengruppen aufweisen. Differenzierbare affine (oder allgemeiner stabile) Ebenen sind hingegen leichter zu finden. Im Gegensatz zu topologischen Ebenen, wo der projektive Abschluss einer lokalkompakten, zusammenhängenden affinen Ebene eine kompakte topologische projektive Ebene ist, gibt es differenzierbare affine Ebenen, deren projektiver Abschluss nicht differenzierbar ist. Auf der Suche nach Beispielen differenzierbarer Ebenen bietet es sich an, bekannte topologische Ebenen darauf hin zu untersuchen, ob Punkt- und Geradenmenge eine differenzierbare Struktur zulassen, so dass "Schneiden" und "Verbinden" differenzierbar wird. Kompakte zusammenhängende topologische projektive Ebenen können bezüglich der Dimension und Struktur ihrer Automorphismengruppen klassifiziert werden und in diesem Rahmen lässt sich die Suche nach differenzierbaren Ebenen recht systematisch durchführen. Bödi hat in seiner Habilitationsschrift bewiesen: übersteigt die Dimension der Automorphismengruppe einer Ebene eine gewisse Schranke, so ist die Ebene nur dann differenzierbar, wenn sie isomorph zur entsprechenden klassischen Ebene ist. Es ist naheliegend, die verbleibenden bekannten Klassen und Familien kompakter zusammenhängender topologischer Ebenen auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Da die Beschreibung dieser Familien allerdings sehr allgemein ist -- meist gestützt auf einzelne oder mehrere Funktionen, die relativ schwachen Anforderungen genügen müssen und mit deren Hilfe man die Punktreihen der Geraden beschreibt --, kann die Untersuchung sehr unangenehm werden. In der Regel wird es wohl bei solchen Klassen nötig sein, mit Hilfe geometrischer Operationen und der Wirkung der Automorphismengruppe die differenzierbare Struktur zu konstruieren, die in einer differenzierbaren Ebene notwendigerweise vorliegen muss, um dann Schneiden und Verbinden zu untersuchen. Das eigentliche Konstruieren der differenzierbaren Struktur ist dabei weniger das Problem, sondern die dann konkret anzugebenden Karten und der Umgang mit diesen: Die auftretenden Terme werden zum Teil so unangenehm, dass auch -- oder gerade -- Computeralgebrasysteme keine Hilfe mehr darstellen. Im Fall 2-dimensionaler Ebenen hat Bödi gezeigt, dass differenzierbare projektive Ebenen mit mindestens 3-dimensionaler Automorphismengruppe isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen sind. Da die 2-dimensionalen kompakten zusammenhängenden topologischen projektiven Ebenen mit 2-dimensionaler Automorphismengruppe vollständig klassifiziert sind, soll deshalb mit dieser Arbeit anhand zweier Familien begonnen werden, diese Ebenen systematisch auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. In Kapitel 4 wird eine Familien von Schiebe-Ebenen studiert, die zwar eine differenzierbare affine Teilebene besitzen, im Allgemeinen aber als projektive Ebene nicht differenzierbar sind. In Kapitel 5 werden Schellhammer-Ebenen untersucht. Dort ist es zwar möglich, Ebenen mit differenzierbaren stabilen Teilebenen zu finden, jedoch ist eine affine oder projektive differenzierbare Schellhammer-Ebene, sofern sie gewisse Zusatzvoraussetzungen erfüllt, isomorph zur klassischen Ebene über den reellen Zahlen.Item Open Access Bestimmung von Kompositionsfaktoren endlicher Gruppen aus Burnsideringen und ganzzahligen Gruppenringen(2008) Höfert, Christian; Kimmerle, Wolfgang (Apl. Prof. Dr.)Ausgangspunkt dieser Arbeit ist die Frage, inwieweit die Struktur einer endlichen Gruppe G durch spezielle arithmetische Eigenschaften, wie z.B. Ordnung, Spektrum und Primgraph, festgelegt ist. Dabei liegt das Hauptaugenmerk zunächst auf dem Primgraphen der Gruppe. Aus dieser Betrachtung entwickelt sich dann die Frage, inwieweit der Primgraph der Gruppe dazu verwendet werden kann, algebraische Strukturen zu untersuchen, die aus der Gruppe G abgeleitet werden können. Zwei solcher Strukturen, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind der Burnsidering B(G) der Gruppe G und ihr ganzzahliger Gruppenring ZG. Bei der Untersuchung beider Strukturen spielt der Primgraph von G eine Rolle. Bei Gruppen mit isomorphen Burnsideringen ist bekannt, dass sie identische Primgraphen und Ordnungen besitzen. Im ersten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass aus gewissen zusätzlichen Eigenschaften des gemeinsamen Primgraphs folgt, dass die Kompositionsfaktoren der Gruppen übereinstimmen. Im zweiten Teil der Arbeit wird der Primgraph von V(ZG), der Gruppe der normierten Einheiten von ZG, betrachtet. Für eine Klasse von Gruppen wird gezeigt, dass der Primgraph von V(ZG) mit dem von G übereinstimmt. Abschließend werden endliche Untergruppen in den Einheitengruppen der ganzzahligen Gruppenringe bestimmter endlicher einfacher Gruppen untersucht. Speziell sind dabei die Gruppen PSL(2,q) von Interesse.Item Open Access Deformations of nearly G2 structures(2021) Nagy, Paul‐Andi; Semmelmann, UweWe describe the second order obstruction to deformation for nearly G2 structures on compact manifolds. Building on work of Alexandrov and Semmelmann, this allows proving rigidity under deformation for the proper nearly G2 structure on the Aloff–Wallach space N(1,1).Item Open Access Minimal orbits of isotropy actions for the classical root systems with simply-laced Dynkin diagrams(2017) Reiswich, Anton; Kollross, Andreas (Priv.-Doz. Dr.)Wir betrachten die Lage der eindeutigen minimalen Hauptbahn einer Isotropiewirkung eines einfach zusammenhängenden symmetrischen Raumes kompakten Typs mit Wurzelsystem A_n bzw. D_n. Nach einer Identifizierung des Bahnenraumes mit einer verallgemeinerten Weyl-Kammer, geben wir für A_n die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer explizit an. Für D_n geben wir ein Ergebnis an, welches es uns erlaubt die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer aus den Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen, dessen Form wir explizit angeben.