08 Fakultät Mathematik und Physik
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Item Open Access Actions of compact groups on spheres and on generalized quadrangles(1999) Biller, Harald; Stroppel, Markus (PD Dr.)Alle Wirkungen kompakter zusammenhängender Gruppen von genügend großer Dimension auf Sphären und auf zwei Arten von verallgemeinerten Vierecken werden im einzelnen beschrieben. Für Sphären läßt sich das Ergebnis wie folgt zusammenfassen: Jede treue stetige Wirkung einer kompakten zusammenhängenden Gruppe, deren Dimension 1 + dim SO(n-2) übersteigt, auf einer n-Sphäre ist linear, also äquivalent zur natürlichen Wirkung einer Untergruppe von SO(n+1). Unter ähnlichen Voraussetzungen untersuchen wir Wirkungen auf endlichdimensionalen kompakten verallgemeinerten Vierecken, deren Punktreihen Dimension 1 oder 4 haben. Hier zeigen wir, daß jede treue Wirkung einer kompakten Gruppe von genügend großer Dimension äquivalent ist zu einer Wirkung auf einem Moufang-Viereck, also auf einer Nebenklassengeometrie einer einfachen Lie-Gruppe, die durch ein BN-Paar beschrieben wird. Die vorliegende Arbeit steht in der Tradition der Untersuchung kompakter projektiver Ebenen und neuerdings anderer kompakter verallgemeinerter Polygone durch Salzmann und seine Schule. Der dabei entstandene Leitgedanke, nur die Wirkung einer Gruppe von genügend großer Dimension vorauszusetzen, wird in dieser Arbeit erstmals für verallgemeinerte Vierecke durchgeführt. Wir setzen zusätzlich voraus, daß die Gruppe kompakt ist, um die hochentwickelte Theorie der Wirkungen kompakter Gruppen auf (Kohomologie-) Mannigfaltigkeiten für die topologische Inzidenzgeometrie weiter zu erschließen. Umgekehrt ermöglicht erst die spezifische Salzmannsche Fragestellung die Ergebnisse über Sphären, die ja dem Bereich der klassischen Theorie angehören. Indem die Klassifikation der kompakten Lie-Gruppen konsequent ausgenutzt wird, läßt sich das Problem auf die Behandlung weniger Serien von Gruppen zurückführen. Bei verallgemeinerten Vierecken zeigt man dagegen zuerst die Transitivität der Wirkung und benutzt dann die bestehende (teilweise hier neu bewiesene) Klassifikation.Item Open Access Algebraic conditions for conformal superintegrability in arbitrary dimension(2024) Kress, Jonathan; Schöbel, Konrad; Vollmer, AndreasWe consider second order (maximally) conformally superintegrable systems and explain how the definition of such a system on a (pseudo-)Riemannian manifold gives rise to a conformally invariant interpretation of superintegrability. Conformal equivalence in this context is a natural extension of the classical (linear) Stäckel transform, originating from the Maupertuis-Jacobi principle. We extend our recently developed algebraic geometric approach for the classification of second order superintegrable systems in arbitrarily high dimension to conformally superintegrable systems, which are presented via conformal scale choices of second order superintegrable systems defined within a conformal geometry. For superintegrable systems on constant curvature spaces, we find that the conformal scales of Stäckel equivalent systems arise from eigenfunctions of the Laplacian and that their equivalence is characterised by a conformal density of weight two. Our approach yields an algebraic equation that governs the classification under conformal equivalence for a prolific class of second order conformally superintegrable systems. This class contains all non-degenerate examples known to date, and is given by a simple algebraic constraint of degree two on a general harmonic cubic form. In this way the yet unsolved classification problem is put into the reach of algebraic geometry and geometric invariant theory. In particular, no obstruction exists in dimension three, and thus the known classification of conformally superintegrable systems is reobtained in the guise of an unrestricted univariate sextic. In higher dimensions, the obstruction is new and has never been revealed by traditional approaches.Item Open Access Applications of Cartan and tractor calculus to conformal and CR-geometry(2007) Leitner, Felipe; Kühnel, Wolfgang (Prof.)The main object of this Habilitationsschrift is the geometric study of solutions of overdetermined conformally invariant differential equations via the use of Cartan and tractor calculus. This study fits into the broader research field of conformal and parabolic invariant theory. Parts of our investigations take special attention to conformal Lorentzian and spin geometry, which provides a link to the theories of modern physics. The present text originated from a collection of research articles and other works of the author, which emerged since the year 2003. In order to make the text basically self contained with uniform notations and conventions I decided to prefix an extended introductory chapter. An English and German summary are included as well.Item Open Access Ein Axiomensystem für die hyperbolischen Ebenen über euklidischen Körpern(2008) Augat, Carsten; Hähl, Hermann (Prof. Dr.)Die vorliegende Dissertation gehört zum Gebiet der metrischen Geometrie. Nach dem Vorbild der Vorlesung "Synthetische Geometrie", welche die euklidische Geometrie (genauer gesagt, die Geometrie der präeuklidischen Ebenen im Sinne von Degen-Profke) aus einem sehr einfachen Axiomensystem entwickelt, wird hier ein ähnliches Axiomensystem für die ebenen hyperbolischen Geometrien aufgestellt und gezeigt, dass die Modelle dieses Axiomensystems genau die hyperbolischen Ebenen über euklidischen Körpern sind.Item Open Access Bestimmung von Kompositionsfaktoren endlicher Gruppen aus Burnsideringen und ganzzahligen Gruppenringen(2008) Höfert, Christian; Kimmerle, Wolfgang (Apl. Prof. Dr.)Ausgangspunkt dieser Arbeit ist die Frage, inwieweit die Struktur einer endlichen Gruppe G durch spezielle arithmetische Eigenschaften, wie z.B. Ordnung, Spektrum und Primgraph, festgelegt ist. Dabei liegt das Hauptaugenmerk zunächst auf dem Primgraphen der Gruppe. Aus dieser Betrachtung entwickelt sich dann die Frage, inwieweit der Primgraph der Gruppe dazu verwendet werden kann, algebraische Strukturen zu untersuchen, die aus der Gruppe G abgeleitet werden können. Zwei solcher Strukturen, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind der Burnsidering B(G) der Gruppe G und ihr ganzzahliger Gruppenring ZG. Bei der Untersuchung beider Strukturen spielt der Primgraph von G eine Rolle. Bei Gruppen mit isomorphen Burnsideringen ist bekannt, dass sie identische Primgraphen und Ordnungen besitzen. Im ersten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass aus gewissen zusätzlichen Eigenschaften des gemeinsamen Primgraphs folgt, dass die Kompositionsfaktoren der Gruppen übereinstimmen. Im zweiten Teil der Arbeit wird der Primgraph von V(ZG), der Gruppe der normierten Einheiten von ZG, betrachtet. Für eine Klasse von Gruppen wird gezeigt, dass der Primgraph von V(ZG) mit dem von G übereinstimmt. Abschließend werden endliche Untergruppen in den Einheitengruppen der ganzzahligen Gruppenringe bestimmter endlicher einfacher Gruppen untersucht. Speziell sind dabei die Gruppen PSL(2,q) von Interesse.Item Open Access Cartier-Foata-Garside monoids and groups(2024) Thumm, Alexander; Eisermann, Michael (Prof. Dr.)Item Open Access Coindex and rigidity of Einstein metrics on homogeneous Gray manifolds(2022) Schwahn, PaulAny 6-dimensional strict nearly Kähler manifold is Einstein with positive scalar curvature. We compute the coindex of the metric with respect to the Einstein-Hilbert functional on each of the compact homogeneous examples. Moreover, we show that the infinitesimal Einstein deformations on F1,2=SU(3)/T2are not integrable into a curve of Einstein metrics.Item Open Access Contributions to the integral representation theory of groups(2004) Hertweck, Martin; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)This thesis contributes to the integral representation theory of groups. Topics treated include: the integral isomorphism problem --- if the group rings ZG and ZH are isomorphic, are the finite groups G and H isomorphic?, the Zassenhaus conjecture concerning automorphisms of integral group rings --- can each augmentation preserving automorphism of ZG be written as the product of an automorphism of G and a central automorphism?, and the normalizer problem --- in the unit group of ZG, is G only normalized by the obvious units? It is well known that these topics are closely related. Though counterexamples are known to each of these questions, our knowledge about such problems is still rather incomplete. A semilocal analysis of the known counterexample to the integral isomorphism problem is performed, which leads to new insight into the structure of the underlying groups. At the same time, this gives strong evidence for the existence of non-isomorphic groups of odd order having isomorphic semilocal group rings. It is shown how in the "semilocal case", counterexamples to the Zassenhaus conjecture can be produced with relatively minor effort. More importantly, it is shown for the first time that there is no local-global principle for automorphisms: An automorphism of a semilocal group ring (corresponding to an invertible bimodule M) need not give rise to a global automorphism (none of the modules in the genus of M is free from one side). In another part of this thesis, the normalizer problem for infinite groups is discussed. Research begun by Mazur is continued, and extensions of results of Jespers, Juriaans, de Miranda und Rogerio are obtained: By reduction to the finite group case, the normalizer problem is answered in the affirmative for certain classes of groups. The hypercenter of the unit group of RG, where G is a periodic group and R a G-adapted ring, is investigated too. If the hypercenter is not equal to the center, then G is a so called Q*-group, and then the hypercenter is described explicitly. The description in the R=Z case was obtained independently by Li and Parmenter, using different methods. The approach given here emphazises the connection to the normalizer problem and has a group-theoretical flavor. Moreover, it is shown that the second center of the unit group of ZG coincides with the finite conjugacy center. By way of contrast, the thesis ends with a little observation, intended to raise hopes that significant applications of integral representation theory to finite group theory will be found some day. In search of a proof of Glauberman's Z_p-star-Theorem (for odd p) which is independent from the classification, the following detail is noticed: If x is an element of order 3 in a finite group G which does not commute with any of its distinct conjugates, then chi(x), for any irreducible character chi of G, is an integral muliple of a root of unity.Item Open Access Deformations of nearly G2 structures(2021) Nagy, Paul‐Andi; Semmelmann, UweWe describe the second order obstruction to deformation for nearly G2 structures on compact manifolds. Building on work of Alexandrov and Semmelmann, this allows proving rigidity under deformation for the proper nearly G2 structure on the Aloff–Wallach space N(1,1).Item Open Access Killing and conformal Killing tensors(2017) Heil, Konstantin; Semmelmann, Uwe (Prof. Dr.)This thesis describes the prolongation connection of Killing tensors in terms of Young symmetrizers. The goal is to give an interpretation to sections of the prolongation bundle for Killing tensors on a manifold as generalized curvature tensors on the cone over that manifold. As a result, this method allows to treat the components of the prolongation bundle as a single object with well-understood symmetries. The developed formalism is then explored in three applications. The first result gives an isomorphism between the symmetric algebra of Killing tensors on a manifold of constant curvature and an algebra generated by parallel two-forms on the cone. That provides a geometric proof of the decomposition of Killing tensors on constant curvature manifolds and the Delong-Takeuchi-Thompson formula, previously obtained by Takeuchi and Thompson. Secondly, this technique, together with some branching rules for holonomy subgroups, yields a new characterization of Sasakian and 3-Sasakian manifolds in terms of Killing tensors satisfying additional curvature conditions. The third application is a new short proof of the result by Dairbekov and Sharafutdinov that the codimension of the zero set of a non-trivial, trace free, conformal Killing tensor is at least two. Throughout this work, special emphasis is placed on the representation theory of the appearing tensor bundles. Therefore, the Killing- and conformal Killing operators are introduced as Stein-Weiss operators. Since Young symmetrizers are a well-established tool in describing tensor representations this approach fits perfectly with the goals of the thesis. A natural consequence of this choice are new, geometric proofs of some established results. Besides those mentioned above these cover: (1) A Weitzenböck formula, which implies that all trace free, conformal Killing tensors on manifolds with non-positive sectional curvature are parallel. (2) The decomposition of occurring representations with respect to the reduced holonomy of a Riemannian product yields that the space of trace free, conformal Killing two-tensors on the product is generated by pullbacks of Killing one- and two-tensors on the factors. Furthermore, this thesis recasts the known examples of Killing tensors on compact Riemannian manifolds in the modern and coordinate free language of differential geometry. It is shown how the example found by Page and Pope generalizes to a construction on all Riemannian submersions with totally geodesic fibres. This technique provides non-parallel symmetric Killing two-tensors on compact Kähler manifolds. That contrasts the fact that on such n-dimensional manifolds do not exist non-parallel Killing forms of degree other than one or n-1. Furthermore, this construction gives a method to compute some eigenvalues of the Lichnerowicz-Laplace operator acting on symmetric two-tensors.Item Open Access Kinematische Schnittmaße bei gegebener Schnittsituation in der Integralgeometrie(2004) Sowada, Robert; Teufel, Eberhard (apl. Prof. Dr.)Anhand eines bekannten Ergebnisses aus der Integralgeometrie als Beispiel soll die Problemstellung erläutert und motiviert werden, die dieser Arbeit zugrunde liegt: Sei C eine feste kompakte berandete d-dimensionale Mannigfaltigkeit (mit zweimal stetig differenzierbarem Rand) im d-dimensionalen euklidischen Raum. Dann ist das Integral über die Euler-Charakteristik des Schnittes von C mit einer Hyperebene -- bezüglich des wie üblich normierten bewegungsinvarianten Maßes auf der Mannigfaltigkeit aller Hyperebenen -- gegeben durch das Oberflächenintegral der (d-2)-ten mittleren Krümmung über den Rand von C. Wird nur eine kompakte Teilmenge aller Hyperebenen betrachtet, die alle C schneidenden Hyperebenen enthält, so gilt somit: Bei geeigneter Normierung ist der Erwartungswert der Euler-Charakteristik des Schnitts einer beliebigen Hyperebene mit C -- bis auf einen konstanten von C unabhängigen Faktor -- durch das Oberflächenintegral gegeben, in das ausschließlich (differential-)geometrische Größen des Randes von C eingehen. Es ist nun nahe liegend zu fragen, wie in dieser Situation eine Formel für die Verteilung aussieht, wie sich also das kinematische Maß derjenigen Hyperebenen ausdrücken lässt, deren Schnitt mit C eine fest vorgegebene Euler-Charakteristik annimmt. Zur letzten Fragestellung lagen bis jetzt jedoch erst relativ wenige Ergebnisse vor, die sich zudem auf den ebenen Fall konzentrieren. So stellte J. J. Sylvester im Jahr 1890 für endlich viele paarweise disjunkte konvexe Mengen das Problem, dass das kinematische Maß derjenigen Geraden bestimmt werden soll, die alle diese Mengen zugleich schneiden bzw. die mindestens eine dieser Mengen schneiden. Für bis zu drei Mengen hat er explizite Formeln in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der Mengen angegeben, für eine größere Anzahl von Mengen ein konstruktives Verfahren zur Gewinnung einer solchen Formel geliefert. Im Jahr 1966 beschäftigte sich R. Sulanke unter anderem mit der Existenz von Netzen aus endlich vielen beschränkten konvexen Kurvenbögen bei vorgegebenem Träger der Verteilung ihrer Schnittpunktanzahl mit Geraden. Für reguläre geschlossene Kurven gab R. V. Ambarcumjan schließlich eine explizite Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Gerade mit der Kurve genau k Schnittpunkte besitzt -- ein vollständiger Beweis ist in der Literatur jedoch nicht vorhanden. Ziel dieser Arbeit ist es nun, für möglichst viele Schnittsituationen die Verteilungen zu bestimmen. Dies geschieht zunächst im Euklidischen -- anschließend im Nichteuklidischen -- für Hyperebenen bzw. Sphären bezüglich Flächen beliebiger Kodimension. Die einzige Forderung, die dabei an die Menge von Hyperebenen bzw. Sphären, deren kinematisches Maß bestimmt werden soll, gestellt wird, wird sein, dass sie von an die gegebene Fläche tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären berandet wird. Dies umfasst somit insbesondere die eingangs betrachtete Situation, dass das Maß derjenigen Hyperebenen bestimmt werden soll, deren Schnitt mit C eine fest vorgebene Euler-Charakteristik besitzt. Es sind jedoch auch weitergehende Situationen abgedeckt, in denen zum Beispiel die Anzahl der Schnittkomponenten oder das Trennen von Zusammenhangskomponenten von Interesse sind. Schließlich wird im Euklidischen auch noch das Maß von Geraden mit entsprechendem Schnittverhalten bezüglich Hyperflächen bestimmt, so dass in den wichtigen Fällen des zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raums das Schneiden affiner Unterräume mit Flächen komplett abgedeckt ist. In die dabei gewonnenen Formeln gehen neben Teilflächen der gegebenen Flächen (bzw. jeweils deren Normalenbündel) zusätzlich noch von mehrfach tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären eingehüllte Flächen ein. Beispielsweise lässt sich in der eingangs betrachteten Situation das Maß derjenigen Hyperebenen, deren Schnitt mit C eine vorgegebene Euler-Charakteristik besitzt, ausdrücken als Summe des Oberflächenintegrals der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen des Randes von C und des Absolutbetrags der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen dieser Hüllflächen (wobei jeweils einige der Teilflächen positiv, die anderen negativ gewichtet werden). Auf der anderen Seite ergeben sich auch Formeln, in die keine Hüllflächen eingehen, diese Formeln sind dann jedoch abhängig von der Wahl eines ausgezeichneten Punktes, bezüglich dessen Stützabstände zu bestimmen sind. Im betrachteten Beispiel wird dann über Teilflächen des Randes von C das Produkt von Gauß-Krümmung und Stützabstand der tangentialen Hyperebene zum Ursprung integriert. Die Aufteilung in die Teilflächen und deren Gewichtung geschieht in beiden Formeln auf genau dieselbe Art und Weise. Der Übergang vom einen in den anderen Typ steht im Zusammenhang mit den Minkowskischen Integralformeln.Item Open Access Lines on K3 quartic surfaces in characteristic 3(2022) Veniani, Davide CesareWe investigate the number of straight lines contained in a K3 quartic surface X defined over an algebraically closed field of characteristic 3. We prove that if X contains 112 lines, then X is projectively equivalent to the Fermat quartic surface; otherwise, X contains at most 67 lines. We improve this bound to 58 if X contains a star (ie four distinct lines intersecting at a smooth point of X). Explicit equations of three 1-dimensional families of smooth quartic surfaces with 58 lines, and of a quartic surface with 8 singular points and 48 lines are provided.Item Open Access Minimal orbits of isotropy actions for the classical root systems with simply-laced Dynkin diagrams(2017) Reiswich, Anton; Kollross, Andreas (Priv.-Doz. Dr.)Wir betrachten die Lage der eindeutigen minimalen Hauptbahn einer Isotropiewirkung eines einfach zusammenhängenden symmetrischen Raumes kompakten Typs mit Wurzelsystem A_n bzw. D_n. Nach einer Identifizierung des Bahnenraumes mit einer verallgemeinerten Weyl-Kammer, geben wir für A_n die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer explizit an. Für D_n geben wir ein Ergebnis an, welches es uns erlaubt die Lage der minimalen Hauptbahn in der dominanten verallgemeinerten Weyl-Kammer aus den Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen, dessen Form wir explizit angeben.Item Open Access On the elementary theory of Heller triangulated categories(2013) Künzer, Matthias; König, Steffen (Prof. Dr.)Verdier's formalism of triangulated categories works with triangles, which fit into octahedra. These triangles enjoy a morphism prolongation property, but those octahedra do not. We establish a formalism of n-triangles such that the 2-triangles coincide with Verdier's triangles, such that the 3-triangles are particular Verdier octahedra, and such that n-triangles appear for all n. Now morphism prolongation holds for all n. Following Heller, we let the n-triangles be governed by an isotransformation between two shift functors on the stable category of n-pretriangles.Item Open Access On the ergodicity of the frame flow on even-dimensional manifolds(2024) Cekić, Mihajlo; Lefeuvre, Thibault; Moroianu, Andrei; Semmelmann, UweIt is known that the frame flow on a closed n-dimensional Riemannian manifold with negative sectional curvature is ergodic if nis odd and n≠7. In this paper we study its ergodicity in the remaining cases. For neven and n≠8,134, we show that: if n≡2mod 4 or n=4, the frame flow is ergodic if the manifold is ∼0.3-pinched, if n≡0mod 4, it is ergodic if the manifold is ∼0.6-pinched. In the three dimensions n=7,8,134, the respective pinching bounds that we need in order to prove ergodicity are 0.4962..., 0.6212..., and 0.5788.... This is a significant improvement over the previously known results and a step forward towards solving a long-standing conjecture of Brin asserting that 0.25-pinched even-dimensional manifolds have an ergodic frame flow.Item Open Access On torsion subgroups and their normalizers in integral group rings(2012) Bächle, Andreas; Kimmerle, Wolfgang (apl. Prof. Dr.)In view of the Zassenhaus conjectures we show that p-subgroups of the normalized units of integral group rings of p-constrained groups are rationally conjugate to subgroups of a group basis, extending a known result. Moreover, we prove that the corresponding statement holds for 2-subgroups, given that the group basis has abelian Sylow 2-subgroups of order at most 8. We provide an affirmative answer for the prime graph question for the groups SL(2, q), q an odd prime power. The 'classical' normalizer problem asks, if a group basis is normalized in the unit group of the integral group ring by products of group elements and central units. After an overview of known results we consider the corresponding question for subgroups of a group basis. We obtain a positive answer for certain isomorphism types of subgroups, comprising e.g. all cyclic groups, and for certain types of normal subgroups. Considering, for a fixed group basis, the question if there is an affirmative answer to the normalizer problem for all its subgroups we provide a positive answer for all locally nilpotent torsion groups and certain metacyclic groups. The last chapter deals with centralizers of subgroups of a group basis in the unit group of an integral group ring. Besides results dealing directly with the centralizers we use the methods of this chapter to prove that the prime graph of the normalizer of an isolated subgroup (of a finite group) in the group and in the normalized unit group of an integral group ring coincide.Item Open Access Partielle Lineationen stabiler Ebenen(2007) Dörfner, Tanja; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)Eine stabile lp-Ebene ist eine topologische Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmter Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der die Punktmenge lokalkompakt und von positiver endlicher topologischer Dimension ist, sowie das Stabilitätsaxiom gilt: Die Menge der Paare schneidender Geraden ist offen in der Menge aller Paare von Geraden. Für stabile lp-Ebenen P, P' ist eine partielle Lineation ein Homöomorphismus zwischen offenen Unterebenen von P und P', welcher Geraden in Geraden abbildet. Inspiriert von der kompakt-offenen Topologie definieren wir auf der Menge aller partiellen Lineationen von P auf P' eine Topologie T derart, dass die Spurtopologie auf der Endomorphismen-Halbgruppe die kompakt-offene Topologie ist. Die Topologie T ist nicht hausdorffsch, aber wir beweisen, dass sie lokalkompakt ist, wenn die Punktmengen der Ebenen P und P' Mannigfaltigkeiten sind. Unter der Voraussetzung, dass der Punktraum eine Mannigfaltigkeit ist, erhalten wir die Lokalkompaktheit der Endomorphismen-Halbgruppe einer stabilen lp-Ebene versehen mit der kompakt-offenen Topologie. Desweiteren untersuchen wir partielle Lineationen stabiler Dreiecke, das sind verallgemeinerte stabile Ebenen, und beweisen eine Verallgemeinerung des lokalen Fundamentalsatzes von Löwen: Jede partielle Lineation eines graphenzusammenhängenden stabilen Unterdreiecks einer projektiven Ebenen über einer der Divisions-Algeberen, welche über den Cayley-Dickson-Prozess konstruiert werden (also den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaterionen oder den Okterionen), lässt sich zu einem Automorphismus dieser Ebene fortsetzen. Neben anderen Beispielen untersuchen wir die Menge der partiellen Lineationen der Pickert-Moulton-Ebene. Wir zeigen, dass jede bijektive Lineation zwischen zwei Pickert-Moulton-Ebenen stetig ist. Außerdem bestimmen wir die Automorphismen-Gruppe einer Pickert-Moulton-Ebene und deren Struktur: Die Automorphismen-Gruppe der Pickert-Moulton-Ebene über dem Körper F mit dem Knickfaktor k ist das semidirekte Produkt einer Gruppe, deren Elemente auf der Pickert-Moulton-Ebene lokal wie Elemente der Automorphismen-Gruppe der projektiven Ebene über dem Körper F wirken, und einer Gruppe, die isomorph ist zur Gruppe derjenigen ordnungserhaltenden Körperautomorphismen des Körpers F, welche den Knickfaktor k fixieren.Item Open Access Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme(2008) Schneider, Thomas; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur weiteren Erforschung nichtklassischer Geometrien leisten. Hierzu wird ein auf D. Hilbert (1899) bzw. H. Mohrmann (1922) zurückgehendes und von M. Stroppel (1993) systematisch untersuchtes Konstruktionsprinzip zur Realisierung nicht desarguesscher affiner Ebenen verfolgt und erweitert. Ein sogenanntes Stroppel-Mohrmann-Hilbert-Liniensystem (SMH-System) entsteht, indem eine gegebene affine Ebene, deren Punktraum gleich dem der reellen affinen Ebene ist und deren Geraden jeweils homöomorph zur reellen Zahlengeraden sind, im Innern einer streng konvexen, einfach geschlossenen Kurve so modifiziert wird, dass anstelle des ursprünglichen Innengebiets der Kurve eine flach oder räumlich realisierte Inzidenzstruktur "eingeklebt" wird, welche die von Stroppel formulierten Axiome einer streng konvexen Compact Disk (CD) erfüllt. Hilbertsche Liniensysteme sind spezielle SMH-Systeme, bei denen lokal desarguessche CDs in die reelle affine Ebene eingepasst werden. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich solche CDs betrachtet, die sich jeweils vermöge einer stetigen injektiven Lineation in die reelle affine Ebene einbetten lassen und die somit lokal desarguessch sind. Im Falle von CDs etwa, die auf Flächenstücken konstanter Gauß-Krümmung im dreidimensionalen Raum realisiert werden, liefern (lokale) geodätische Abbildungen in die reelle euklidische Ebene derartige Lineationen. Unter den affinen Ebenen, die als Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme entstehen, gibt es desarguessche und nicht desarguessche Vertreterinnen. Als zentrales Resultat der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass ein Hilbertsches Liniensystem genau dann desarguessch ist, wenn die Randkurve der zur Konstruktion des Hilbertsystems eingesetzten CD punktweise projektiv äquivalent zum Bild der Randkurve unter der Lineation ist. Dieses Ergebnis fußt wesentlich auf dem Lokalen Fundamentalsatz von R. Löwen (1982). Zur praktischen Prüfung der projektiven Äquivalenz zweier Kurven werden Techniken aus der Projektiven Differentialgeometrie eingesetzt: zwei parametrisierte ebene Kurven mit gleichem Parameterbereich sind nämlich genau dann projektiv äquivalent, wenn die entsprechenden Koeffizientenfunktionen der (speziellen) Grundgleichungen übereinstimmen, denen ihre (gegebenenfalls geeignet renormierten) projektiven Darstellungen genügen. Mit diesen Methoden wird zunächst die Klasse der Ebenen untersucht, die wie das von Hilbert im Jahre 1899 vorgestellte Beispiel auf (flachen) CDs basieren, deren Randkurven Ellipsen sind. Das Geradensystem einer solchen CD besteht aus Kreisbögen, die durch einen außerhalb der Ellipse gelegenen festen Punkt verlaufen. Dieser Punkt fungiert als Zentrum einer Inversionsabbildung, welche die Einbettung der CD in die reelle affine Ebene induziert. Damit tatsächlich eine streng konvexe CD vorliegt, muss der Punkt so gewählt werden, dass das Bild des von der Ellipse im Innern berandeten Gebiets unter der Inversionsabbildung streng konvex bezüglich des Geradensystems der reellen affinen Ebene ist. In der vorliegenden Arbeit werden mögliche Lagen des Inversionszentrums zum Ellipsenmittelpunkt in Abhängigkeit von den Halbachsen bestimmt. Mithilfe der oben erwähnten Resultate sowie der Methoden aus der Projektiven Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine affine Ebenen der Hilbertschen Bauart die Desargues-Eigenschaft genau dann besitzt, wenn als Randkurve der CD eine rotationssymmetrische Ellipse, d.h. ein Kreis gewählt wird. Zur Konstruktion einer räumlichen Realisierung eines Hilbertschen Liniensystems wird eine spezielle Drehfläche konstanter positiver Gauß-Krümmung, nämlich eine Spindelfläche, mit dem System ihrer Geodätischen herangezogen. Durch eine geeignet parallel zur Drehachse liegende Ebene wird ein Abschnitt der Spindelfläche abgegrenzt, welcher durch eine ebene Schnittkurve berandet wird. Es zeigt sich, dass dieser Spindelflächenabschnitt die Anforderungen erfüllt, die an räumlich realisierte CDs zu stellen sind. Das übliche System der Geraden der Ebene wird im Inneren der Schnittkurve durch das Geodätensystem der CD modifiziert, und auf diese Weise entsteht ein räumlich realisiertes Hilbertsches Liniensystem, welches wir als Spindelflächenebene bezeichnen. Durch computeralgebraisch und numerisch unterstützte Anwendung des oben erwähnten Hauptresultats wird nachgewiesen, dass die betrachtete Spindelflächenebene nicht desarguessch ist, dass sich aber eine desarguessche affine Ebene ergibt, wenn die Spindelfläche in der Konstruktion durch eine Sphäre gleicher Gauß-Krümmung ersetzt wird.Item Open Access Restklassenweise affine Gruppen(2005) Kohl, Stefan; Kimmerle, Wolfgang (Prof.)Diese Arbeit ist ursprünglich motiviert durch die 3n+1 - Vermutung. Diese Vermutung besagt, daß iterierte Anwendung der Collatz-Abbildung T: Z -> Z, n -> (n/2 falls n gerade, (3n+1)/2 falls n ungerade) auf eine positive ganze Zahl nach endlich vielen Schritten zur 1 führt. Die 3n+1 - Vermutung wurde um 1930 von Lothar Collatz aufgestellt und konnte bis heute nicht bewiesen werden - vgl. Lagarias' zugehörige kommentierte Bibliographie, erhältlich unter http://arxiv.org/abs/math.NT/0309224. Die Arbeit versucht nicht, die 3n+1 - Vermutung zu beweisen. Sie untersucht vielmehr die Struktur von Gruppen, die von bijektiven restklassenweise affinen Abbildungen, d.h. von "der Collatz-Abbildung ähnlichen" Permutationen, erzeugt werden. Derartige Gruppen werden in dieser Arbeit nach Kenntnisstand des Autors zum ersten Mal untersucht. Zielsetzung dieser Arbeit ist in erster Linie die Untersuchung der Struktur der Gruppe RCWA(Z) aller restklassenweise affinen Bijektionen des Rings der ganzen Zahlen. Ein Hauptergebnis ist die Konstruktion eines nichttrivialen Normalteilers der Gruppe RCWA(Z). Ferner werden - neben zahlreichen anderen Strukturaussagen zur Gruppe RCWA(Z) selbst und zur Untergruppe der klassenweise ordnungserhaltenden Abbildungen - Reichhaltigkeitsbedingungen an Normalteiler hergeleitet und Einbettbarkeitsresultate für Klassen von Gruppen in RCWA(Z) erzielt. Viele der Resultate werden in allgemeinerem Kontext erzielt für Gruppen RCWA(R) über euklidischen Ringen R. Abgerundet wird die Arbeit von einer ausführlichen Diskussion einer Anzahl von Beispielen. Restklassenweise affine Gruppen, d.h. Untergruppen von RCWA(R), bilden eine Klasse i.a. unendlicher Permutationsgruppen, die rechnerischen Untersuchungen zugänglich sind. Parallel zur Anfertigung dieser Arbeit hat der Autor Algorithmen hierzu entwickelt, und diese in einem Package namens RCWA für das Computeralgebrasystem GAP implementiert. Dieses Package ist erhältlich unter http://www.gap-system.org/Packages/rcwa.html.Item Open Access Sixteen-dimensional locally compact planes of Lenz-type V on which SU2H acts as a group of collineations(2020) Hähl, Hermann; Meyer, EkkehardWe explicitly construct all the planes mentioned in the title.